Geometria di Moulton

Distanza fra due punti di Moulton

La distanza euclidea tra i due punti A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) è data dalla formula:

La distanza tra i due punti A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) nel piano di Moulton è:

• se il segmento AB di Moulton interseca l'asse y nel punto C:

  d_M(A, B) = d_E(A, C) + d_E(C, B)

• in tutti gli altri casi:

  d_M(A, B) = d_E(A, B)

Ad esempio, determiniamo la distanza tra i due punti A(-3,1) e B(3, 4).

Essendo x₁ ⋅ x₂ < 0 il segmento AB di Moulton interseca l'asse y per cui determiniamo la retta passante per A e B e poi individuiamo le coordinate nel punto di intersezione tra il segmento e l'asse y.

Il cui grafico è:

Come si vede la retta per A e B interseca l'asse y nel punto C(0, 3) per cui la distanza di Moulton tra A e B è:

La distanza euclidea è in generale minore o uguale alla distanza di Moulton come si vede dal grafico:

Inoltre, anche per la distanza di Moulton si può facilmente verificare che:

• per due punti distinti A e B si ha: d_M(A, B) > 0;

• Per due punti coincidenti A e B si ha: d_M(A, B) = 0;

• Per due punti qualsiasi A e B si ha: d_M(A, B) = d_M(B, A).

Nel piano euclideo due segmenti sono congruenti se hanno la stessa lunghezza (la stessa misura), ma è anche sottinteso che due segmenti sono congruenti se sono perfettamente sovrapponibili mediante un movimento rigido (traslazione, rotazione e riflessione). Questi due modi di definire la congruenza sono del tutto equivalenti perchè nel piano euclideo due segmenti che hanno la stessa lunghezza sono certamente sovrapponibili con un opportuno movimento e, viceversa, segmenti sovrapponibili hanno la stessa lunghezza. Nel piano di Moulton due segmenti che hanno la stessa lunghezza possono non essere sovrapponibili con un movimento rigido, mentre due segmenti sovrapponibili hanno certamente la stessa lunghezza. Ecco ad esempio due segmenti di Moulton che hanno la stessa lunghezza ma non sono sovrapponibili.

Nel piano euclideo si dice che M è il punto medio del segmento AB se M divide AB in due segmenti congruenti, inoltre ogni segmento ha un unico punto medio. Nel piano di Moulton per evitare il concetto di sovrapponibilità si dice che il punto medio di due punti A e B è il punto della retta AB equidistante da A e B. Inoltre, anche nel piano di Moulton ogni segmento ha un unico punto medio.