Geometria di Moulton

Punti, rette e segmenti nel piano di Moulton

Nel 1902 l'astronomo americano Forest Ray Moulton (1872-1952), propose un nuovo tipo di geometria non euclidea chiamata geometria di Moulton o geometria della rifrazione. Per mettere in evidenza le numerose differenze tra la geometria euclidea e la geometria di Moulton considereremo le due geometrie in un sistema di assi ortogonali. In questo sistema i punti del piano di Moulton sono definiti come gli usuali punti del piano euclideo, mediante coppie ordinate di numeri reali P(x, y) dove x è l'ascissa e y è l'ordinata. Anche le rette verticali, le rette orizzontali e le rette non verticali con coefficiente angolare minore o uguale di zero (m ≤ 0) sono definite come le usuali rette del piano cartesiano. Mentre le rette non verticali con coefficiente angolare maggiore di zero (m > 0) si rifrangono di metà del coefficiente angolare quando attraversano l'asse y. Per cui queste rette sono dette rette rifratte costituite dall'unione di due semirette euclidee con inclinazione positiva tale che l'inclinazione maggiore sia il doppio di quella minore. Possiamo immaginare queste rette di Moulton come il percorso di un raggio di luce che viene rifratto quando attraversa l'asse y. Nel piano di Moulton ci sono, quindi, tre tipi di linee rette che possono essere espresse con le equazioni:

dove m è il coefficiente angolare, q è l'intecetta cioè l'intersezione della retta con l'asse y, e k è un numero reale. Dando particolari valori a m, q e k si ottengono le rette di Moulton nel sistema ortogonale come in figura:

Dove si può osservare che l'unica retta diversa da quelle euclidee è quella rifratta.

Ne segue che tre punti collineari nel piano euclideo possono non essere collineari nel piano di Moulton e viceversa. Ad esempio, i punti A(-2, 3), B(-1, -1) e C(1, 3) sono collineari nel piano euclideo ma non lo sono nel piano di Moulton mentre i punti A(-2, 3), B(-1, -1) e D(1, 2) sono collineari nel piano di Moulton ma non lo sono nel piano euclideo.

Il segmento è una parte limitata di retta tra due punti A e B detti estremi, pertanto il segmento di Moulton che appartiene a una retta verticale oppure a una retta orizzontale oppure a una rette non verticale con coefficiente angolare minore o uguale di zero è identico al corrispondente segmento euclideo. Invece, il segmento di Moulton che appartiene a una retta non verticale con coefficiente angolare maggiore di zero è:

• identico al corrispondente segmento euclideo se ha estremi entrambi dalla stessa parte rispetto all'asse y;

• un segmento rifratto se gli estremi sono da parte opposte rispetto all'asse y. Ecco ad esempio un segmento rifratto AB di Moulton.

  

Nel piano euclideo un segmento AB rappresenta la minima distanza tra i punti A e B; anche nel piano di Moulton un segmento rappresenta la minima distanza tra due punti e quindi il segmento rifratto AB della figura precedente rappresenta, nel piano di Moulton la distanza minima tra A e B.