Geometria di Moulton

I due assiomi

Anche nel piano di Moulton continua a valere l'assioma:

Per ogni coppia di punti distinti A e B esiste una e una sola retta r tale che A e B stanno su r.

Se per una coppia distinta di punti A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) si ha:

allora si cade nei casi euclidei di rette orizzontali o di rette con una medesima pendenza negativa e quindi i punti A e B appartengono ad una e una sola retta di equazione:

Anche per ogni coppia distinta A(x₁, y₁) e B(x₁, y₂) si cade nel caso euclideo di rette verticali e quindi i punti A e B appartengono ad una e una sola retta di equazione x = x₁.

In tutti gli altri casi l'unica retta che passa per i punti A e B ha per equazione il sistema:

Ad esempio determiniamo l'unica retta r che passa per i punti A(-2, 1) e B(4, 3).

Sostituendo nel sistema le incognite con le coordinate di A e di B si ottiene:

che ha per soluzione m = 1/2 e q = 2 e la retta ha per equazione:

Ed ecco la rappresentazione grafica:

Nel piano di Moulton continua a valere anche l'assioma:

Per un punto non su una retta data passa una sola parallela alla retta.

Per le rette orizzontali e per le rette con una medesima pendenza negativa si cade nei casi euclidei, per cui se la retta data ha equazione y = mx + q per il punto esterno A(x₁, y₁) passa l'unica retta parallela con lo stesso coefficiente angolare m di equazione:

y - y₁ = m(x - x₁)

Esaminimo il caso di una retta con pendenza positiva ad esempio, la retta passante per i punti C(-1, 1) e D(2, 2) ha per equazione:

La parallela (unica) per il punto E(-2,3) parallela alla precedente retta ha per equazione:

Ed ecco la rappresentazione grafica:

Come si vede le due rette rifratte parallele hanno la stessa pendenza a sinistra dell'asse y e uguale pendenza a destra dell'asse y.