equivalenza ed equiscomponibilità

Equivalenza ed equiscomponibilità

Due figure piane si dicono equiestese quando le superficie che ricoprono hanno la stessa estensione. Distinguiamo due casi:

• Stessa estensione e stessa forma.

  Se due figure hanno la stessa estensione e la stessa forma allora sono sovrapponibili l'una all'altra mediante un movimento rigido, cioè mediante un movimento che non deformi le figure. In questo caso si dice che le due figure sono uguali o congruenti.

  
• Stessa estensione ma non la stessa forma.

  Se due figure hanno la stessa estensione ma non hanno la stessa forma allora non sono sovrapponibili l'una all'altra mediante un movimento rigido. In questo caso si dice che le due figure sono equiestese ma non sono congruenti.

  

Si intuisce che la relazione avere la stessa estensione sia una relazione di equivalenza per cui se due figure hanno la stessa estensione si dicono equivalenti e valgono le tre proprietà di equivalenza:

• riflessiva

  ogni figura è equiestesa a se stessa.

• simmetrica

  Se una figura A è equiestesa a una figura B, allora anche la figura B è equiestesa alla figura A.

• transitiva

  Se le figure A e B sono equiestese e le figure B e C sono equiestese allora anche le figure A e C sono equiestese.

Se una figura è suddivisa in parti che non hanno in comune punti interni allora l'area, che è la misura dell'estensione della superficie della figura, è uguale alla somma delle aree di ciascuna parte.

Area_ABCD = a + b + c

Se due figure sono scomponibili nelle stesse parti a due a due congruenti si dice che sono equiscomponibili o equi composte. Due figure equiscomponibili sono evidentemente equivalenti perchè sono costituite dalle stesse parti equivalenti ma disposte in modo differente. Ad esempio, le due figure il trapezio e il rettangolo sono equiscomponibili e quindi sono equivalenti perchè sono costruiti con le stesse parti: un quadrato e due triangoli rettangoli.

In generale, poligoni che si ottengono per somma di parti equivalenti sono equivalenti.

Ad esempio, sono equiscomponibili ed equivalenti le seguenti figure perchè sono suddivise nelle stesse parti; quattro triangoli rettangoli congruenti.

Si intuisce che:

• se due figure sono congruenti allora sono equivalenti ed equiscomponibili;

  Ad esempio, i due quadrati in figura:

  

  sono congruenti, equivalenti ed equiscomponibili.

• se due figure sono equiscomponibili allora sono equivalenti, ma non necessariamente congruenti;

  Ad esempio. il rettangolo e il rombo in figura

  

  sono equiscomponibili, equivalenti ma non congruenti;

• se due figure sono equivalenti allora non sono necessariamente equiscomponibili.

  Ad esempio il quadrato e il cerchio in figura:

  

  hanno la stessa area e quindi sono equivalenti ma non sono equiscomponibili perchè non è possibile dividere il cerchio in un numero finito di parti che ricomposte formano esattamente il quadrato.