Cosa devi sapere sui numeri primi

I mattoncini dei numeri naturali

Il matematico tedesco Leopold Kronecker (1823-1891) scrisse:

Dio creò i numeri interi, tutto il resto è opera dell'uomo.

I numeri interi

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

sono stati i primi numeri utilizzati dall'uomo fin dall'antichità per contare gli oggetti e per questo motivo sono detti numeri naturali per giustificare il loro naturale uso. Questi numeri sono fondamentali per la nostra vita quotidiana e possiedono moltissime proprietà, rispetto alle quali possiamo suddividerli in due distinte classi: quelli che hanno la proprietà e quelli che ne sono privi. Ad esempio:

• Essere pari.
  
  Un numero è pari se è divisibile per 2. In base a questa proprietà possiamo suddividere i numeri naturali nelle due classi:

  1. quelli che sono pari (2, 4, 6, 8, 10, ...)

  2. quelli che non lo sono (1, 3, 5, 7, 9, ...) che vengono detti numeri dispari

• Essere un quadrato perfetto.
  
  Un numero è un quadrato perfetto se è il prodotto di due numeri uguali 4 = 2⋅2. In base a questa proprietà possiamo suddividere i numeri naturali nelle due classi:

  1. quelli che sono quadrati perfetti (1, 4, 9, 16, 25, ...)

  2. quelli che non lo sono (2, 3, 5, 6, 8, ...)

• Essere un cubo perfetto.
  
  Un numero è un cubo perfetto se è il prodotto di tre numeri uguali 8 = 2⋅2⋅2. In base a questa proprietà possiamo suddividere i numeri naturali nelle due classi:

  1. quelli che sono cubi perfetti (1, 8, 27, 64, 125, ...)

  2. quelli che non lo sono (2, 3, 4, 5, 6, ...)

• Essere divisibile per 3.
  
  In base a questa proprietà possiamo suddividere i numeri naturali nelle due classi:

  1. quelli che sono divisibili per 3 (3, 6, 9, 12, 15, ...)

  2. quelli che non lo sono (1, 2, 4, 5, 7, ...)

Tra tutte le possibili suddivisioni dei numeri naturali in due classi quella più importante è tra i numeri che sono primi e quelli che non lo sono. Un numero naturale maggiore di 1 è primo se ha esattamente solo due divisori. Ad esempio, sono primi i numeri:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Non sono primi i numeri:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ...

Quest'ultimi sono detti numeri composti. Il numero 1 non viene considerato nè primo nè composto. Inoltre, il numero 2 è l'unico numero primo pari.

L'importanza dei numeri primi fu scoperta dal matematico greco Euclide (325-265 a.C.):

Ogni numero naturale maggiore di 1 è primo, oppure può essere espresso in modo unico come prodotto di numeri primi.

Ad esempio, 24 non essendo un numero primo può essere espresso in modo unico come prodotto di numeri primi. Ci sono solo tre possibilità per scrivere 24 come prodotto di due fattori minori di 24:

24 = 2 ⋅ 12 oppure 24 = 3 ⋅ 8 oppure 24 = 4 ⋅ 6

E ognuna di queste scomposizioni può essere ulteriolmente sviluppata considerando i fattori che sono ancora numeri composti:

24 = 2 ⋅ 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2³ ⋅ 3

24 = 3 ⋅ 8 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2³ ⋅ 3

24 = 4 ⋅ 6 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2³ ⋅ 3

E in tutte le tre scomposizioni ci sono sempre gli stessi numeri primi 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 a meno dell'ordine. Questa scoposizione in fattori primi è unica per il numero 24 e nessun altro numero naturale ha la stessa scomposizione in fattori primi. I numeri primi giocano quindi, un ruolo fondamentale; possiamo infatti considerarli come dei mattoncini di Lego con i quali possiamo costruire in modo unico qualsiasi numero naturale maggiore di 1. Ad esempio in figura vediamo la rappresentazione a mattoncini di Lego del numero 24.

Questa proprietà dei numeri primi è detta teorema fondamentale dell'aritmetica. La scomposizione in fattori primi di un numero naturale permette di scoprire le particolari proprietà di quel numero. Ad esempio:

• Se un numero è un quadrato perfetto.
  
  La scomposizione in fattori primi del numero 144

  144 = 2⁴⋅3² = (2²⋅3)(2²⋅3)

  Ci consente di scoprire che è un numero quadrato: i numeri primi della scomposizione 2⁴⋅3² compaiono tutti ad esponente pari (cioè ogni mattoncino compare un numero pari di volte). Pertanto un numero quadrato scomposto in mattoncini è sempre costituito da due pezzi uguali.

  

• Quali sono i divisori di un numeri.
  
  La scomposizione in fattori primi del numero 60

  60 = 2²⋅3⋅5

  Ci consente di trovare in modo semplice e sistematico tutti i divisori del numero maggiore di 1 prendendo ogni singolo fattore primo e tutti i possibili prodotti di fattori primi.

  

  Cioè:

  2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

  In figura sono stati costruiti tutti i possibili pezzi utilizzando i mattoncini che compongono il numero 60.

  

• Il numero complessivo dei divisori di un numero
  
  La scomposizione in fattori primi del numero 600

  600 = 2³⋅3⋅5²

  Ci consente di conoscere in modo semplice il numero complessivo dei suoi divisori compreso 1 e il numero stesso applicando la regola:
  
  Si aumenta di una unità ognuno degli esponenti dei fattori primi e si fa il prodotto dei numeri ottenuti.
  
  Nel nostro caso gli esponenti sono rispettivamente 3, 1 e 2 e quindi:

  (3 + 1)(1+ 1)(2 + 1) = 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24

  Pertanto i divisori di 600 sono 24:

  1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30,

  40, 50, 60, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600