Cosa devi sapere sui numeri primi

Numeri pefetti

Un numero naturale è detto perfetto se è uguale alla somma di tutti i suoi divisori escluso se stesso. Furono i pitagorici a notare che il numero 6 possiede questa sigolare proprietà:

6 = 1 + 2 + 3

Il successivo numero perfetto è 28 infatti, i suoi divisori sono 1, 2, 4, 7, 14, 28 e si ha:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Ben presto i greci si resero conto che pochi numeri naturali possiedono questa particolare proprietà e cercarono di scoprire un metodo per trovare altri numeri perfetti. Euclide dimostrò che se 2ⁿ - 1 è primo allora il numero:

2^n-1(2ⁿ - 1)

è perfetto. Come si vede la formula di Euclide prevede una stretta relazione tra i numeri perfetti e i primi che oggi sono detti di Mersenne. Infatti, la formula di Euclide espressa in funzione del numero primo di Mersenne è:

Mediante la formula di Euclide furono scoperti altri due numeri perfetti:

I numeri 6, 28, 496, 8128 furono per molti secoli gli unici numeri perfetti conosciuti e partendo da questi pochi numeri vennero fatte due congetture:

• Un numero perfetto n-esimo contiene n cifre e quindi deve esserci un numero perfetto con 5 cifre.

• I numeri perfetti finiscono alternativamente per 6 o per 8.

Eulero, duemila anni dopo Euclide, dimostrò che ogni numero perfetto pari è della forma di Euclide. Con la conoscenza dei numeri primi di Mersenne applicando la formula di Euclide sono stati trovati altri numeri perfetti e si è costatato che le due congetture sono false. Il quinto numero perfetto 33.550.336 ha più di 5 cifre e termina con 6 e anche il sesto numero perfetto 8.589.869.056 termina con 6. Dato il legame tra i numeri primi di Mersenne e i numeri perfetti, ogni qualvolta si scopre un nuovo numero primo di Mersenne si ottiene anche un nuovo numero perfetto moltiplicandolo per 2^n-1. Tutti i numeri perfetti che si conoscono sono pari e si congettura che non esistano numeri perfetti dispari. I numeri perfetti sono numeri molto singolari e da sempre hanno suscitato curiosità che ha permesso di scoprire:

• Ogni numero perfetto è triangolare.

  Ad esempio:

  

  Ne segue che i numeri perfetti sono sempre la somma di una serie di numeri naturali consecutivi ad esempio,

  

• Ogni numero perfetto maggiore di 6 è la somma di numeri dispari consecutivi elevati al cubo.

  Ad esempio:

  

• Per ogni numero perfetto la somma dei reciproci di tutti i divisori è sempre uguale a 2.

  Ad esempio:

  

• Ogni numero perfetto maggiore di 6 diviso per nove dà come resto 1.

  Ad esempio:

  28 = 3 ⋅ 9 + 1; 496 = 55 ⋅ 9 + 1; 8128 = 903 ⋅ 9 + 1