Cosa devi sapere sui numeri primi

Numeri primi di Mersenne

Marin Mersenne (1588-1648), frate dell'ordine dei Minimi è stato il più importante punto di riferimento dei maggiori scienziati di quell'epoca. Con tutti ebbe una fittissima corrispondenza riuscendo a metterli in contatto l'uno con l'altro contribuendo in questo modo alla diffusione delle nuove scoperte scientifiche nel continente europeo. Nel 1644 Marsenne scrisse che i numeri della forma:

M_p = 2^p - 1

sono primi per p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 e che questi sono gli unici primi con p minore di 258 per i quali 2^p - 1 è primo. Questi numeri sono chiamati in suo onore primi di Mersenne. Ecco ad esempio alcuni numeri primi di Marsenne

Successivamente la congettura di Mersenne risultò non del tutto vera, perchè nel corso dei successivi tre secoli fu mostrato che anche per p = 61, 89, 107 si ottiene un numero primo di Mersenne e i numeri

2⁶⁷ - 1 e 2²⁵⁷ - 1

non sono primi. Comunque è sorprende che Mersenne senza una calcolatrice o un computer e con carta e penna abbia commesso solo cinque errori se si considera che M₁₂₇ è un numero di 39 cifre.

Solo nel 1947 grazie alle calcolatrici tascabili è stato possibile stabilire che la lista dei numeri primi di Mersenne corretta per p minore di 258 è costituita da 12 numeri:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127.

Come si nota p assume solo valori primi ma se p è primo non è detto che M_p sia primo (M₁₁ non è primo) per cui la ricerca di oppotuni valori di p non è semplice. Come facilmente si intuisce i numeri di Merenne primi crescono in modo eponenziale e quindi è sempre più difficile, senza gli attuali strumenti informatici, stabilire la loro primalità. Con l'avvento dei computer sempre più veloci è stato possibile scoprire altri numeri primi di Mersenne e attualmente si conoscono 51 numeri primi di Mersenne e il più grande di questi numeri è stato scoperto nel 2018 ed è:

2^82.589.933 - 1

che è formato da 24.862.048 cifre. I matematici ritengono che i numeri di Mersenne primi sono infiniti però attualmente ciò non è stato ancora dimostrato e quindi resta una congettura. Ma perchè c'è la necessità di questa ricerca di numeri primi sempre più grandi? I numeri primi con almeno 300 cifre sono utilizzati nella crittografia cioè la scienza che si occupa dei codici segreti. Oggi la crittografia gioca un ruolo importante basti pensare alle password e ai codici del bancomat. Inoltre, gli algoritmi per verificare se un numero è primo rappresentano un banco di prova per testare l'efficacia dei super computer. Una curiosità: i numeri primi di Mersenne maggiori di 3 sono sempre del tipo 6n+1. Infatti: