Cosa devi sapere sui numeri primi

Una formula per i numeri primi

Per molti secoli sono stati fatti numerosi tentati per trovare una semplice formula che fornisca solo numeri primi. Fermat era convinto di averla trovata e nel 1640 in una lettera a Mersenne scrisse:

Ho tovato che i numeri della forma 2²ⁿ+1 sono sempre primi

Eulero nel 1732 mostrò che Fermat si era sbagliato perchè il quinto numero di Fermat

non è primo ed è scomponibile in fattori primi:

4.294.967.297 = 641 ⋅ 6.700.417

Anche i numeri di Mersenne

M_p = 2^p - 1

non forniscono solo numeri primi. Se p non è primo M_p è sicuramente non primo. Infatti se p è un numero pari cioè un numero della forma p=2n dove n è un numero naturale maggiore di 1 allora M_p è sempre un numero composto come si intuisce dall'uguaglianza:

Ad esempio per p = 4 o p = 6 si ha

Se p è dispari ma non primo cioè un numero della forma p=m⋅n allora M_p è ancora un numero composto come si intuisce dall'uguaglianza:

Ad esempio per p = 9 si ha

Inoltre, anche se p è un numero primo M_p potrebbe non essere primo. Ad esempio per p=11 si ha:

Si ritiene che molto probabilmente non esiste una formula semplice che dia solo numeri primi anche se non possono darli tutti. E' invece possibile trovare infiniti insiemi numerici che contengono infiniti numeri primi. Il matematico Dirichlet (1805-1859) ha dimostrato che dati due numeri interi coprimi p e q, esistono infiniti primi della forma:

n⋅p + q

dove n è un intero positivo. Ad esempio ponendo p=3 e q=4 (3 e 4 sono coprimi) la progressione aritmetica dei numeri della forma n⋅3+4 con n numero positivo intero contiene infiniti numeri primi:

4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, ...

Questa progressione sebbene contiene infiniti numeri primi contiene anche infiniti numeri composti. Inoltre, poichè ogni numero primo, tranne 2, è dispari, si ha:

ogni numero primo dispari è della forma 4k + 1 oppure 4k + 3 con k numero intero positivo

Progressione dei numeri della forma 4k + 1:

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, ...

Progressione dei numeri della forma 4k + 3:

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, ...

E quindi esistono infiniti numeri primi della forma 4k+1 e infiniti numeri primi della forma 4k+3. In particolare, è stato dimostrato:

• Tutti i numeri primi della forma 4k+1 possono essere espressi come somma di due numeri quadrati:

  5=2²+1²; 13=3²+2²; 17=4²+1²; 29=5²+2²; ...

  In generale se p è un numero primo della forma 4k+1 allora si ha:

  p = m² + n²

  dove m e n sono due numeri interi positivi e è stato scoperto che i numeri 2mn, m²-n² e p rappresentano una terna pitagorica dove p è l'ipotenusa.

  

• Nessun numero primo della forma 4k+3 pò essere rappresentato come somma di due numeri quadrati

Anche alcune funzioni quadratiche forniscono molti più numeri primi di altre come ad esempio la famosa funzione quadratica scoperta da Eulero:

f(n) = n² + n + 41

Questa particolare funzione fornisce un numero primo per ogni valore intero di n compreso tra 0 e 39.

f(0) = 41; f(1) = 43; f(2) = 47; f(3) = 53; ... f(39) = 1601

con f(40) si ottiene il numero 41² che non è primo ma è stato verificato che tra i primi 10 milioni di valori di f(n) il rapporto tra i numeri primi e i numeri composti è 1/3. Se si dispongono i numeri naturali, cominciando da 41 con un andamento a spirale possiamo osservare con sorpresa che i numeri primi che si ottengono dalla formula di Eulero sono tutti disposti su una linea retta.

Il matematico Stanislaw Ulam ha scoperto che se si dispongono i numeri naturali lungo una spirale, i numeri primi tendono a disporsi lungo linee diagonali.

E tale disposizione spiega perchè alcune funzioni quadratiche contengono molti più numeri primi di altre. Ad esempio, la funzione quadratica:

x² - 79x + 1601

dà luogo a numeri primi per ogni x fino a x=79.