Alcuni problemi irrisolti

Molti problemi sui numeri primi sono semplici da enunciare ma molto difficili da risolvere e restano sotto forma di congettura il che contribuisce a rendere fascinosa questa branca della matematica. Eccone alcuni:

• Congettura di Goldbach.
  
  Il matematico prussiano Christian Goldbach (1609-1764) nel 1762 scrisse una lettera a Eulero nella quale gli chiese di dimostrare il quesito:
  
  Ogni intero dispari maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.
  
  Eulero incuriosito da questo quesito lo riformulò nella versione equivalente:
  
  Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
  
  E tale quesito è noto con il nome di congettura di Golbach. E' molto semplice individuare numerosissimi esempi numerici di questa congettura come ad esempio:

  4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 10 = 7 + 3

  Tuttavia, non è possibile verificare che ciò vale per tutti gli infiniti numeri pari e quindi bisogna trovare una dimostrazione generale che ne provi la verità oppure scoprire almeno un controesempio che faccia vedere che è falsa. Ma a tutt'oggi questa dimostrazione generale non è stata ancora trovata nonostante i numerosi tentativi fatti da molti matematici.

• Numeri primi gemelli.
  
  Due numeri primi che differiscono di 2 unità sono detti numeri primi gemelli ad esempio sono primi gemelli i numeri:

  3 e 5; 5 e 7; 11 e 13; ... 101 e 103; ... 1031 e 1033

  La congettura dei numeri primi gemelli fu proposta per la prima volta da Euclide:
  
  Esistono infiniti primi gemelli.
  
  Anche in questo caso è facile individuare un lungo, ma finito, elenco di coppie di primi gemelli ma non esiste ancora una dimostrazione che ne provi la verità nè un controesempio per negare la validità. Non è difficile osservare che le coppie di numeri primi gemelli tendono a diradarsi nell'insieme dei numeri primi ma anche i numeri primi tendono a diradarsi nell'insieme dei numeri interi positivi e pure è stato dimostrato da Euclide che esistono infiniti numeri primi.

• Numeri primi della forma N² + 1.
  
  Ecco ad esempio alcuni numeri primi di questa forma:

  2² + 1 = 5; 4² + 1 = 17; 6² + 1 = 37

  Ed ecco la congettura:
  
  Esistono infiniti primi della forma N² + 1.
  
  Naturalmente se N² + 1 è primo, necessariamente N è pari ma se N è pari non è sempre vero che N² + 1 è primo.