Cosa devi sapere sui numeri primi

Numeri primi di Fermat

I numeri primi da sempre hanno affascinato e attirato la curiosità dei matematici per la loro caratteristica di essere i costruttori dei numeri naturali e nello stesso tempo essere sparsi lungo la successione dei numeri naturali senza una precisa regola. Per molti secoli è stata cercata una possibile formula che desse solo numeri primi. Pierre de Fermat (1601-1665) osservò che i numeri della forma:

Per n = 0, 1, 2, 3, 4 erano tutti primi

e congetturò in una lettera a Mersenne nel 1640 che tutti i numeri ottenibili con questa formula fossero numeri primi. Nel 1732 Eulero (1707-1783) mostrò che Fermat fosse in errore perchè per n = 5 il numero F₅ non è primo:

Con l'aiuto dei computer si sa che F_n è composto per tutti i valori di n da 5 a 21. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) nel 1796 a 19 anni scoprí che esiste un legame tra i numeri primi di Fermat e la costruzione, con riga e compasso, di alcuni poligoni regolari. Fin dai tempi di Euclide si sapeva che, con riga e compasso era possibile costruire poligoni regolari con 2^k⋅n lati, per n = 3, 4, 5, 6, 15 e per 2000 anni queste sono state le uniche costruzioni note di poligoni regolari. Gauss tramutò il problema geometrico della costruibilità con riga e compasso nel problema algebrico della risolubilità di una data equazione. L'idea fu quella di trasformare ogni singolo passo di una costruzione fatta con riga e compasso in una corrisponde equazione di primo o di secondo grado e quindi con ragionamenti prettamente algebrici dimostrò che se n è un numero primo di Fermat, allora il poligono regolare con un numero n di lati è costruibile con riga e compasso. Ne segue, ad esempio, che un poligono regolare di 17 lati, cioè un eptadecagono si può costruire con riga e compasso perchè 2⁴+1=17. In generale:

un poligono regolare di n lati può essere costruito con riga e compasso se e solo se n è un numero del tipo

2^k ⋅ p₁ ⋅ p₂⋅ ... ⋅ p_n

dove k è un intero ≥0 e p₁⋅ p₂ ⋅ ... ⋅ p_n sono numeri di Fermat primi.

Fu proprio questa scoperta che indusse il giovane Gauss a studiare matematica e a non dedicarsi alle lettere classiche. Gauss fu cosí fiero di questa sua scoperta da chiedere che un eptadecagono fosse inciso sulla sua tomba.