Cosa devi sapere sui numeri primi

Il teorema di Wilson

John Wilson (1741-1793) scoprí che se si prende il numero primo 2 e si calcola:

(2 - 1)! + 1 = 2

il risultato è divisibile per 2. Poi notò che questo valeva anche per altri numeri primi, ad esempio:

• (3 - 1)! + 1 = 2 ⋅ 1 + 1 = 3

• (5 - 1)! + 1 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1 = 25

• (7 - 1)! + 1 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1 = 721

  e 721 : 7 = 103 ⋅ 7

• (11 - 1)! + 1 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1 = 3.628.801

  e 3.628.801 : 11 = 329.891 ⋅ 7

Infine, osservò che questa proprietà non valeva per i numeri composti infatti

• (4 - 1)! + 1 = 7 e 7 non è divisibile per 4

• (6 - 1)! + 1 = 121 e 121 non è divisibile per 6

• (8 - 1)! + 1 = 5041 e 5041 non è divisibile per 8

Wilson che allora era uno studente del matematico inglese Edward Waring (1736-1798) informò il professore della sua congettura:

se p è un numero primo allora (p - 1)! + 1 è divisibile per p.

Cioè

(p -1)! ≡ -1 (mod p)

Nel 1770 Waring annunciò questa congettura attribuendola al suo allievo e nel 1771 fu dimostrata dal matematico Lagrange. Anche l'inverso del teorema di Wilson è vero:

se e solo se (p - 1)! + 1 è divisibile per p allora p è primo.

In teoria il teorema di Wilson sembra un valido test per verificare se un numero è primo. In pratica risulta poco utile come test di primalità perchè il fattoriale diventa subito un numero molto grande ad esempio il fattoriale (91 - 1)! è un numero con 139 cifre.