Cosa si deve sapere sulle equazioni di secondo grado

Il grafico della funzione quadratica

Nello studio delle equazioni di secondo grado si ha un grande vantaggio dalla possibilità di tracciare il grafico della funzione associata a un trinomio di secondo grado (funzione quadratica) cioè di una funzione del tipo

f(x) = ax² + bx + c      (a ≠ 0)

i cui zeri sono proprio le radici dell'equazione

ax² + bx + c = 0

Un grafico è sempre più significativo di una formula o di un'equazione e consente delle rappresentazioni che ci aiuteranno a capire. Ad esempio, rappresentiamo nel piano cartesiano il grafico della funzione quadratica più semplice

f(x) = x²

Per far ciò determiniamo le coordinate di alcuni suoi punti:

e rappresentiamoli nel piano cartesiano

Si ottiene una curva detta parabola simmetrica rispetto all'asse delle ordinate e con il vetice V(0, 0) nell'origine degli assi. In questa funzione quadratica il coefficiente dell'incognita x è 1 ma se tale coefficiente fosse diverso da 1 cosa cambia nella rappresentazione grafica? Consideriamo la funzione

f(x) = ax²

e consideriamo dei valori di a maggiori di zero. Ad esempio:

• Poniamo a = 2 e rappresentiamo nello stesso piano cartesiano le due funzioni f(x) = x² e f(x) = 2x².

  

• Poniamo a = 1/2 e rappresentiamo nello stesso piano cartesiano le due funzioni f(x) = x² e f(x) = 1/2x².

  

Come si vede dai due grafici il valore del parametro a maggiore di zero (coefficiente di x²) influisce sulla "apertura" della parabola. In particolare per a>1 le "aperture" delle parabole diminuiscono e per 0 < a < 1 le aperture della parabola aumentano. Inoltre se a rimane positivo, l'apertura sarà sempre verso l'alto e quindi la parabola volge la concavità verso l'alto.

Consideriamo dei valori di a minori zero, ad esempio a = -1/2 e rappresentiamo nello stesso piano cartesiano le due funzioni f(x) = 1/2x² e f(x) = -1/2x².

Come si vede la due parabole sono simmetriche rispetto all'asse delle x; in altre parole la parabola della funzione f(x) = -1/2x² si può ottenere ribaltando rispetto all'asse x la parabola della funzione f(x) = 1/2x².

Inoltre, anche il questo caso al variare di a il grafico sarà più o meno "aperto" ma, se a rimane negativo, l'apertura sarà sempre verso il basso e quindi la parabola volge la concavità verso il basso. In generale, l'apertura delle parabola esaminate dipende dal valore assoluto di a: all'aumentare di |a| diminuisce l'apertura della parabola.

Ora, se consideriamo una qualsiasi funzione quadratica

f(x) = ax² + bx + c      (a ≠ 0)

il suo grafico è sempre una parabola e la concavità della curva dipende solo dal segno del coefficiente a: concavità verso l'alto se a>0, concavità verso il basso se a<0. Inoltre, gli zeri di una funzione quadratica cioè i valori di x per cui il valore di f(x) è zero sono i punti in cui la curva interseca l'asse delle x. Ad esempio la funzione

f(x) = x² + 2x - 3

nel piano cartesiano è rappresentata da una parabola che interseca l'asse delle x nei punti x=1 e x=-3

che sono gli zeri della funzione ma sono anche la soluzione dell'equazione associata

x² + 2x - 3 = 0

In generale, il grafico di una qualsiasi funzione quadratica è una parabola che può assumere, rispetto all'asse delle x, le seguente disposizioni:

E quindi c'è una stretta relazione tra una proprietà geometrica (tipo di disposizione della parabola) e una proprietà algebrica (soluzioni di un'equazione di secondo grado).