Cosa si deve sapere sulle equazioni di secondo grado

La risoluzione di un'equazione di secondo grado

Per le equazioni di secondo grado complete in una incognita esiste una formula risolutiva che permette di ottenere le soluzioni in funzione dei soli coefficienti. Vediamo il procedimento detto metodo del completamento del quadrato che ci permette di scoprirla applicando i due principi di equivalenza delle equazioni e le regole del calcolo letterale.

• Primo passo

  Data l'equazione di secondo grado completa ridotta in forma normale si porti il termine noto al secondo membro:

  ax² + bx = −c

  Si moltiplicano tutti i termini, dell'equazione di secondo grado ridotta in forma normale, per 4a e si porta al secondo membro il termine noto.

  4a²x² + 4abx = −4ac

• Secondo passo

  Si aggiunge a entrambi i membri b²

  4a²x² + 4abx + b² = b² −4ac

  Essendo il primo membro dell'equazione il quadrato di un binomio si può scrivere:

  (2ax + b)² = b² −4ac

• Terzo passo

  L'espressione al primo membro è sempre positiva o nulla essendo un quadrato (a e b sono diversi da zero) quindi, l'equazione ammette soluzioni reali solo se anche l'espressione al secondo membro è positiva o nulla.

  b² −4ac ≥ 0

  Supponendo che l'espressione al secondo membro sia positiva o nulla si può estrarre la radice algebrica e qundi si ha:

  

  Siamo così pervenuti alla formula risolutiva dell'equazione di secondo grado e le due soluzioni reali sono:

  

Ad esempio, applichiamo la formula risolutiva per determinare le soluzioni dell'equazione completa:

3x² − 4x + 1 = 0

dove i coefficienti sono: a = 3, b = −4, c = 1

L'espressione b² −4ac viene chiamata discriminante dell'equazione ed è indicata con la lettera greca maiuscola Δ (si legge delta).

Δ = b² −4ac

Nella risoluzione di un'equazione di secondo grado possono presentarsi tre casi che dipendono dal valore del discriminante:

• Δ > 0

  Il radicale:

  

  rappresenta un numero reale positivo e dunque l'equazione ammette due soluzioni reali distinte:

  
• Δ = 0

  Il radicale:

  

  vale zero e dunque l'equazione ammette due radici coincidenti:

  
• Δ < 0

  Il radicale:

  

  perde di significato e quindi l'equazione non ha soluzioni reali.

Riassumendo:

Ad esempio l'equazione:

• 2x² + 8x + 6 = 0 ha il discriminante positivo (Δ=64−48=16) e quindi ha due radici reali distinte e applicando la formula risolutiva si trova:

  x₁ = − 1 e x₂ = − 3

• 9x² − 12x + 4 = 0 ha il discriminante nullo (Δ=144−144=0) e quindi ha due radici reali coincidenti e applicando la formula risolutiva si trova:

  x₁=x₂=2/3

• 5x² − 4x + 1 = 0 ha il discriminante negativo (Δ=16−20=−4) e quindi non ha soluzioni reali.

Se nell'equazione ax² + bx + c = 0 il coefficiente b è un numero pari si può usare la formula risolutiva ridotta:

Ad esempio, l'equazione:

x² − 4x − 5 = 0

ha il coefficiente b = −4 (che è pari) e il discriminante positivo e quindi si può applicare la formula ridotta: