Cosa si deve sapere sulle equazioni di secondo grado

Regola di Cartesio

Esiste una regola, nota come regola di Cartesio, che consente di conoscere il segno delle radici di un'equazione completa di secondo grado senza risolverla. Consideriamo i coefficienti a, b, c di un'equazione completa di secondo grado nella forma normale; si ha una:

• permanenza di segno se due coefficienti contigui (ossia a e b oppure b e c) hanno lo stesso segno.

• variazione di segno se due coefficienti contigui hanno segni opposti

  

Regola di Cartesio:

In un'equazione completa di secondo grado con Δ ≥ 0 ad ogni variazione corrisponde una radice positiva e ad ogni permanenza corrisponde una radice negativa. Se l'equazione presenta una permanenza e una variazione e la permanenza precede la variazione la radice negativa sarà maggiore (in valore assoluto) rispetto alla positiva; se, al contrario, la variazione precede la permanenza la radice positiva sarà maggiore (in valore assoluto) rispetto alla radice negativa.

Le indicazioni che vengono date da questa regola si possono ricavare ragionando sulle due relazioni:

e sui segni dei coefficienti.

Ad esempio l'equazione

2x² + 5x - 3 = 0

ha il discriminante positivo

Δ = 25 + 24 = 49

e quindi ha due radici reali e poichè l'equazioni ha una permanenza e una variazione le due radici sono una negativa e l'altra positiva e la radice negativa ha valore assoluto maggiore. Infatti applicando la formula risolutiva si ottengono le due radici -3 e 1/2.