Cosa si deve sapere sulle equazioni di secondo grado

Scomposizione di un trinomio di secondo grado

Con le conoscenze acquisite sulle equazioni di secondo grado in una incognita, ora è possibile stabilire se un trinomio di secondo grado sia scomponibile nel prodotto di due fattori di primo grado. Consideriamo un generico trinomio di secondo grado nella variabile x:

ax² + bx + c

Se la corrispondente equazione associata (che si ottiene uguagliando a zero il trinomio)

ax² + bx + c = 0

ha il discriminante non negativo, allora l'equazione ammette due soluzioni reali x₁ e x₂ (eventualmente coincidenti) che sono anche gli zeri del trinomio. Pertanto il trinomio si scompone nel seguente modo:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Ecco tutti i passaggi che giustificano la scomposizione del trinomio:

Se il discriminante dell'equazione associata è negativo l'equazione non ha radici reali e quindi il trinomio non ha zeri reali ed è irriducibile in R.

Riassumendo:

Ad esempio, scomponiamo in fattori di primo grado il trinomio 6x² + 13x + 6

L'equazione associata 6x² + 13x + 6 = 0 ha il discriminante positivo Δ=169−144=25 e quindi ha due soluzioni reali:

Quindi il trinomio si scompone in: