Cosa si deve sapere sulle equazioni di secondo grado

Relazioni fra le radici e i coefficienti

Se il discriminante, di un'equazione di secondo grado, non è negativo dalla formula risolutiva possiamo ottenere altre due utili relazioni che legano le radici x₁ e x₂ con i coefficienti a, b, c dell'equazione in forma normale.

• Somma delle radici.
  
  Indichiamo con s la somma x₁ + x₂

  

  La somma delle radici è uguale al rapporto, cambiato di segno tra i coefficienti b e a.

• Prodotto delle radici.
  
  Indichiamo con p il prodotto x₁ ⋅ x₂

  

  Il prodotto delle radici è uguale al rapporto tra i coefficienti c e a.

Queste due relazioni permettono, quindi, di determinare la somma s e il prodotto p delle soluzioni di un'equazione di secondo grado utilizzando i coefficienti, senza dover risolvere l'equazione. Ad esempio determiniamo la somma e il prodotto delle radici dell'equazione:

x² − 2x − 5 = 0

Si può fare la verifica determinando le due radici con la formula risolutiva:

e come si può notare la somma e il prodotto delle radici corrispondono a quelle determinate precedentemente.

Potendo dividere per a i due membri di un'equazione completa di secondo grado in forma normale:

e tenendo presente che:

si può scrivere:

x² − sx + p = 0

Quest'ultima scrittura di un'equazione di secondo grado permette di risolvere alcuni tipi di problemi:

• Trovare un'equazione di secondo grado che ha per soluzioni due numeri dati.
  
  Ad esempio, trovare l'equazione che ha per radici i numeri 4 e −3.
  
  Basta considerare s = 4 − 3 = 1 e p = 4 ⋅ (−3) = −12 e scrivere:

  x² − x − 12 = 0

• Trovare due numeri di cui si conoscono la somma e il prodotto.
  
  Ad esempio trovare, se esistono, due numeri reali che abbiano per somma 9 e per prodotto 20.
  
  I numeri cercati, se esistono, sono le soluzioni dell'equazione:

  x² − 9x + 20 = 0

  Il discriminante dell'equazione non è negativo e l'equazione ammette le due radici x₁ = 4 e x₂ = 5.