Cosa si deve sapere sulle equazioni di secondo grado

Equazioni di secondo grado

Un'equazione di secondo grado o quadratica nella sola incognita x è un'uguaglianza algebrica in cui l'incognita compare con esponente 2. Ogni equazione di secondo grado può sempre ricondursi alla forma normale:

ax² + bx + c = 0

dove a, b, c detti coefficienti dell'equazione sono numeri reali e a è diverso da zero. Il coefficiente c è anche detto termine noto. Ad esempio nell'equazione di secondo grado

3x² + 5x - 2 = 0

a = 3, b = 5, c = -2.

Un'equazione di secondo grado si dice completa quando, ridotta in forma normale, i coefficienti a, b, c sono tutti diversi da zero, incompleta quando il coefficiente b o il coefficiente c o entrambi sono uguali a zero. Si hanno quindi tre tipi di equazioni di secondo grado incomplete:

• Se c = 0 l'equazione diventa:

  ax² + bx = 0

  Le equazioni incomplete di questo tipo si dicono spurie. Ad esempio:

  2x² - 3x = 0

• Se b = 0 l'equazione diventa

  ax² + c = 0
  

  Le equazioni incomplete di questo tipo si dicono pure. Ad esempio:

  2x² + 8 = 0

• Se b = 0 e c = 0 l'equazione diventa

  ax² = 0
  

  Le equazioni incomplete di questo tipo si dicono monomie. Ad esempio:

  4x² = 0

Risolvere un'equazione di secondo grado significa determinare i valori reali di x detti soluzioni o radici, se esistono, che rendono vera l'uguaglianza fra i due membri. Ad esempio l'equazione

x² + 3x - 4 = 0

ha per soluzione i numeri -4 e 1. Sostituendo a x il numero - 4 si ha:

-4² + 3(-4) - 4 = 0 → 16 - 12 - 4 = 0 → 0 = 0

E sostituendo a x il numero 1 si ha:

1² + 3(1) - 4 = 0 → 1 + 3 - 4 = 0 → 0 = 0

Le soluzioni di un'equazione di secondo grado, se esistono, sono al massimo due.