Cosa si deve sapere sulle equazioni di secondo grado

Le equazioni di secondo grado incomplete

Vediamo come si risolvono le equazioni spurie, pure e monomie:

• Equazioni spurie: ax² + bx = 0
  

  Queste equazioni si possono riscrivere mettendo in evidenza il fattore comune x:

  x(ax + b) = 0

  e per risolverle si applica la legge di annullamento del prodotto.
  
  Il prodotto di due o più fattori è zero, se e soltanto se almeno uno dei fattori è zero.
  
  In virtù di questa legge si possono uguagliare a zero ciascuno dei due fattori:

  

  Un'equazione spuria ha quindi sempre due soluzioni reali distinte di cui una nulla.

  

  Ad esempio risolviamo l'equazioni spuria:

  4x² − 5x = 0

  raccogliamo il fattore comune x

  x(4x − 5) = 0

  per la legge di annullamento del prodotto si ha

  x = 0       oppure       4x − 5 = 0

  da cui si ottiene

  

  L'equazione ha quindi le due soluzioni

  

• Equazioni pure: ax² + c = 0

  Essendo a ≠ 0 possiamo dividere entrambi i membri per a

  

  Il secondo membro di quest'ultima equazione è sicuramente diverso da zero essendo a e c diversi da zero (ipotesi iniziale). Si possono presentare due casi:
  
  

  1. a e c hanno segni opposti. In tal caso il secondo membro dell'equazione è positivo e si può calcolare il radicale algebrico. L'equazione ammette due radici reali distinte

     

  2. a e c hanno lo stesso segno.
     
     In tal caso il secondo membro dell'equazione è negativo e poichè la radice quadrata di un numero negativo non esiste in R, l'equazione non ha soluzioni in R.

  Ad esempio l'equazione pura:

  3x² − 12 = 0
  
  

  

  ammette le due soluzioni reali: x₁ = 2       x₂ = −2
  
  Invece, l'equazione pura:

  3x² + 12 = 0

  non ammette soluzioni in R.

• Equazioni monomie: ax² = 0

  Essendo a ≠ 0 possiamo dividere entrambi i membri per a

  x² = 0

  e quindi le soluzioni di queste equazioni sono

  x₁ = 0;       x₂ = 0

  Quando le due soluzioni di un'equazione di secondo grado sono uguali vengono dette coincidenti o soluzione doppia.