Studio di una funzione goniometrica
Studiare la funzione:
e tracciare il suo grafico.
- Dominio della funzione
La funzione è definita per qualsiasi valore reale di x:
D = (-∞, +∞)
- Simmetrie e periodicità
La funzione è periodica, in particolare sin(2x) ha periodo Π e sin x ha periodo 2Π per cui il periodo T della funzione è: 2Π. Inoltre, essendo:
f(-x) = -2sinx - sin2x = -f(x)
la funzione è dispari e quindi è simmetrica rispetto all'origine degli assi. Pertanto possiamo limitarci a studiare la funzione solo nell'intervallo [0, 2Π].
- Segno e intersezioni con gli assi
Intersezione con gli assi:
La funzione può essere scritta nella forma:
y = 2sinx + sin2x = 2sinx + 2sinxcosx = 2sinx(1+cosx)
E ponendo y=0 si ottiene:
2sinx(1+cosx) = 0 → 2sinx=0, 1 + cosx = 0 → x = 0, Π, 2Π
Le intersezioni sono quindi:
(0, 0), (Π, 0), (2Π, 0)
Studiamo il segno:
- Asintoti
Non ci sono asintoti.
- Cresenza, decrescenza, massimi e minimi
Calcoliamo la derivata prima della funzione:
La funzione y' può essere scritta nella forma:
Studiamo il segno della derivata prima ossia:
Riassumiamo nel seguente schema il segno di y':
La funzione ha un massimo relativo in:
un minimo relativo in:
un flesso a tangente orizzontale in
- Concavità e flessi
Calcoliamo la derivata seconda:
Esaminiamo il segno della derivata seconda:
Lo schema del segno di y" è:
Ne segue che la funzione ha tre punti di flesso in:
- Grafico della funzione
Ora abbiamo tutte le informazioni per tracciare il grafico della funzione:
