Studio di una funzione logaritmica
Studiare la funzione:
e tracciare il suo grafico.
- Dominio della funzione
La funzione essendo il prodotto tra una funzione polinomiale e una funzione logaritmica è definita solo se l'argomento del logaritmo è strettamente positivo e quindi bisogna porre la condizione:
x>0
Pertanto il dominio della funzione è:
D = (0, +∞)
- Simmetrie e periodicità
Si verifica che f(-x) ≠ f(x) e f(-x) ≠ -f(x), pertanto la funzione non è nè pari nè dispari.
- Segno e intersezioni con gli assi
Studiamo il segno:
Per determinare il segno della funzione occorre risolvere la disequazione 4x4lnx>0. Il primo fattore 4x4 è sempre maggiore di zero per ogni x del dominio di definizione mentre il secondo fattore è maggiore di zero per x>1:
Da ciò si deduce che il grafico della funzione interseca l'asse delle x nel punto A(1, 0). Lo schema del segno della funzione è quindi:
Dalle informazioni acquisite si deduce che il grafico della funzione appartiene alle regioni del piano cartesiano non colorate.
- Asintoti
Asintoti verticali: calcoliamo il limite della funzione per x che tende a zero da destra:
Dunque per x=0 la funzione presenta un punto di discontinuità.
Asintoti orizzontali: calcoliamo il limite della funzione per x→+∞.
La funzione non ha asintoti orizzontali.
Asintoti obliqui:
Non esistono nemmeno asintoti obliqui.
- Cresenza, decrescenza, massimi e minimi
Calcoliamo la derivata prima della funzione:
Studiamo il segno della derivata prima ossia:
La funzione ha un minimo relativo in:
in cui vale:
Riassumiamo nel seguente schema il segno di y':
- Concavità e flessi
Calcoliamo la derivata seconda:
Esaminiamo il segno della derivata seconda:
Ne segue che la funzione ha un punto di flesso in:
in cui vale:
Lo schema del segno di y'' è:
- Grafico della funzione
Ora abbiamo tutte le informazioni per tracciare il grafico della funzione:
