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Studio di una funzione irrazionale fratta con indice pari
Studiare la funzione:
e tracciare il suo grafico.
- Dominio della funzione
La funzione essendo il prodotto tra una funzione polinomiale e una funzione irrazionale con indice pari è definita quando il radicando è positivo o nullo e nel nostro caso ciò avviene quando la frazione contenuta dentro la radice è positiva o nulla cioè
Osserviamo che per x=-1 si ha y=0 mentre per x=1 la funzione non è definita perchè si annulla il denominatore del radicando.
Il dominio è quindi: D = (-∞, -1] ∪ (1, +∞)
- Simmetrie e periodicità
Si verifica che f(-x) ≠ f(x) e f(-x) ≠ -f(x), pertanto la funzione non è nè pari nè dispari.
- Segno e intersezioni con gli assi
Studiamo il segno:
Risolvendo la disequazione si ottiene:
Dunque la funzione è positiva per x > 1 è negativa per x < -1 ed è nulla per x=-1, tocca l'asse delle x nel punto (-1, 0) e non interseca l'asse delle y. Dalle informazioni acquisite si deduce che il grafico della funzione appartiene alle regioni del piano cartesiano non colorate.
- Asintoti
Asintoti verticali: essendo
la retta x=1 è un asintoto verticale per la funzione.
Asintoti orizzontali: calcoliamo il limite della funzione per x→±∞:
Non esistono quindi asintoti orizzontali.
Asintoti obliqui: calcoliamo il limite del rapporto f(x)/x per x→+∞:
Essendo finito il limite calcoliamo il limite (f(x)-mx) per x che tende a più infinito.
Si ha quindi un asintoto obliquo di equazione y=x+1
- Cresenza, decrescenza, massimi e minimi
Calcoliamo la derivata prima della funzione:
Osserviamo che la derivata prima si annulla per x2-x-1=0 e cioè:
ed è positiva per:
Pertanto, la funzione:
- è crescente negli intervalli
- è decrescente nell'intervallo
- ha un minimo relativo per
- Concavità e flessi
Calcoliamo la derivata seconda partendo dall'espressione di y' nella forma equivalente:
E tenendo conto che la derivata del prodotto di tre funzioni f(x), g(x), h(x) è data da:
Derivando e semplificando si ottiene:
Esaminiamo il segno della derivata seconda:
ed è nulla per x=-2 in corrispondenza del quale si ha:
E quindi il punto:
rappresenta un punto di flesso per la funzione. Costruiamo lo schema del segno della derivata seconda:
Si deduce che il grafico della funzione:
- è convessa negli intervalli [-2, -1] e (1, +∞)
- è concava nell'intervallo (-∞, -2)
- Grafico della funzione
Ora abbiamo tutte le informazioni per tracciare il grafico della funzione:
