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Studio di una funzione logaritmica
Studiare la funzione
e tracciare il suo grafico.
Dominio della funzione
Una funzione logaritmica è definita solo se l'argomento è strettamente positivo e quindi bisogna porre la condizione:x2 - x >0 → x < 0 ∨ x > 1
Pertanto il dominio della funzione è:
D = (-∞, 0) ∪ (1, +∞)
Simmetrie e periodicità
Si verifica che f(-x) ≠ f(x) e f(-x) ≠ -f(x), pertanto la funzione non è nè pari nè dispari.Segno e intersezioni con gli assi
Studiamo il segno:
Per determinare il segno della funzione occorre risolvere la disequazione ln(x2-x)>0:
Da ciò si deduce che il grafico della funzione interseca l'asse delle x nei punti:
Lo schema del segno della funzione è quindi:
Dalle informazioni aquisite si deduce che il grafico della funzione appartiene alle regioni del piano cartesiano non colorate.
Asintoti
Asintoti verticali: calcoliamo il limite della funzione per x che tende a zero da sinistra e il limite per x che tende a 1 da destra:
Dunque la retta x=0 è un asintoto verticale sinistro mentre la retta x=1 è un asintoto verticale destro per il grafico della funzione.
Asintoti orizzontali: calcoliamo il limite della funzione per x→+;∞ e per x→-;∞.
La funzione non ha asintoti orizzontali.
Asintoti obliqui:
Non esiste l'asintoto obliquo.
Cresenza, decrescenza, massimi e minimi
Calcoliamo la derivata prima della funzione:
Studiamo il segno della derivata prima ossia:
Pertanto la funzione non ha nè massimi nè minimi.
Concavità e flessi
Calcoliamo la derivata seconda:
Esaminiamo il segno della derivata seconda:
Il numeratore è sempre negativo mentre il denominatore è sempre positivo e quindi la derivata seconda risulta sempre negativa. Ne segue che la funzione non ha flessi e lo schema del segno di y" è:
Possiamo quindi dedurre che il grafico della funzione:
è sempre concava nell'intervallo di definizione.
Grafico della funzione
Ora abbiamo tutte le informazioni per tracciare il grafico della funzione:
