Esempi svolti sullo studio di una funzione

Studio di una funzione irrazionale con indice pari

Studiare la funzione

e tracciare il suo grafico.

• Dominio della funzione
  
  Essendo una funzione irrazionale di indice pari il suo dominio è costituito da ogni valore di x appartenente all'insieme dei numeri reali tali da rendere il radicando positivo o nullo e nel nostro caso bisogna porre x³-3x+2≥0 cioè

  x³-3x+2 ≥ 0 → (x+2)(x-1)² ≥ 0 → x ≥ -2

  Il dominio è quindi: D = { x ∈R | x ≥ -2 }

• Simmetrie e periodicità
  
  Si verifica che f(-x) ≠ f(x) e f(-x) ≠ -f(x), pertanto la funzione non è nè pari nè dispari.

• Segno e intersezioni con gli assi
  
  Studiamo il segno:
  
  Risolvendo la disequazione si ottiene:

  x³-3x+2 > 0 → x ≠ 1 ∧ x > -2

  

  Dunque la funzione è sempre positiva per x ≠ 1 ∧ x > -2 ed è nulla per x=-2 e x=1.

  Determiniamo i punti in cui il grafico tocca l'asse x ponendo y = 0 nell'equazione della funzione:
  

  x³-3x+2 = 0 → x = -2 ∨ x = 1

  Dunque il grafico tocca l'asse x nei punti (-2, 0) e (1, 0).

  Determiniamo i punti di intersezione con l'asse y ponendo x = 0 nell'equazione della funzione:

  

  Il grafico interseca l'asse y nel punto (0, √2).

  Dalle informazioni aquisite si deduce che il grafico della funzione appartiene alle regioni del piano cartesiano non colorate.

  

• Asintoti
  
  Asintoti verticali: essendo la funzione continua nel suo dominio non ha asintoti verticali.
  
  Asintoti orizzontali: calcoliamo il limite della funzione per x→+∞:

  

  Non esistono quindi asintoti orizzontali.
  
  Asintoti obliqui: calcoliamo il limite del rapporto f(x)/x per x→+∞:

  

  Non esistono asintoti obliqui.

• Cresenza, decrescenza, massimi e minimi
  
  Calcoliamo la derivata prima della funzione:

  

  Osserviamo che la derivata prima non è definita per x=-2 e x=1 e risulta:

  

  Essendo infinito il limite della derivata prima per x=-2⁺ il grafico della funzione ha nel punto (-2, 0) una tangente verticale. Inoltre:

  

  Essendo i limiti destro e sinistro per x=1 rispettivamente più infinito e meno infinito il punto (1, 0) è un punto di cuspide.
  

  Determiniamo i possibili punti stazionari uguagliando a zero la derivata prima:
  

  

  Studiamo il segno della derivata prima:

  

  

  Dal punto stazionario e dal segno della derivata prima si deduce che il grafico della funzione:

  • è crescente negli intervalli [-2, -1] e [1, +∞)

  • è decrescente nell'intervallo (-1, 1)

  • ha una semiretta a tangente verticale nel punto (-2, 0)

  • presenta un massimo relativo nel punto di ascissa x=-1 e y=2

• Concavità e flessi
  
  Calcoliamo la derivata seconda partendo dall'espressione di y' nella forma:

  

  Derivando e semplificando si ottiene:
  

  

  Esaminiamo il segno della derivata seconda:

  

  e costruiamo lo schema del segno della derivata seconda:

  

  Dal segno della derivata seconda si deduce che il grafico della funzione:

  • è convessa nell'intervall0 (1, +∞)

  • è concava nell'intervallo (-2, 1)

• Grafico della funzione
  
  Ora abbiamo tutte le informazioni per tracciare il grafico della funzione: