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Studio di una funzione algebrica razionale intera

Studiare la funzione y = f(x) = x⁴ -3x² + 2 e tracciare il suo grafico.

• Dominio della funzione
  
  Essendo una funzione algebrica intera il suo dominio è tutto l'insieme dei numeri reali: D = R, cioè l'intervallo (+∞, -∞).

• Simmetrie e periodicità
  
  Verifichiamo se la funzione è pari:
  
  Poniamo -x al posto di x nella funzione e vediamo se la nuova funzione risulta uguale a quella iniziale cioè, se f(-x)=f(x):

  (-x)⁴ -3(-x)² + 2 = x⁴ -3x² + 2

  Essendo le due funzioni uguali la funzione è pari e quindi il suo grafico sarà simmetrico rispetto all'asse y.

• Segno e intersezioni con gli assi
  
  Studiamo il segno:
  
  Risolviamo la disequazione di quarto grado

  x⁴ -3x² + 2 > 0

  Ponendo x² = t si ottiene la disequazione di secondo grado:

  t² -3t + 2 > 0

  che è soddisfatta per t < 1 ∨ t > 2 e sostituendo si ha:

  x² < 1 ∨ x² > 2

  Cioè:

  x₁ < 1 ∨ x₂ < -1 ∨ x₃ > √2 ∨ x₄ > -√2

  Lo schema del segno della funzione è quindi:

  

  Per determinare i punti di intersezione con l'asse y poniamo x = 0 nell'equazione della funzione:

  x = 0 → y = 0⁴ -3⋅0² + 2 = 2

  Il grafico della funzione interseca l'asse y nel punto di coordinate (0, 2).

  Dalle informazioni aquisite si deduce che il grafico della funzione appartiene alle regioni del piano cartesiano non colorate, interseca l'asse y nel punto di coordinate (0, 2) e interseca l'asse delle x nei quattro punti di coordinate (-√2, 0) (-1, 0), (1, 0), (√2, 0).

  

• Asintoti
  
  Non ci sono asintoti verticali perchè il dominio non ha punti di discontinuità essendo definito nell'intervallo (+∞, -∞). Verifichiamo se ci sono asintoti orizzontali calcolando i limiti della funzione per x→-∞ e per x→+∞.

  

  Non ci sono asintoti orizzontali. Verifichiamo se ci sono asintoti obliqui:

  

  Non ci sono nemmeno asintoti obliqui.

• Cresenza, decrescenza e massimi e minimi
  
  La funzione è derivabile per ogni x del dominio. Calcoliamo la derivata prima della funzione:

  y' = 4x³ -6x = 2x(2x² -3)

  e determiniamo i punti stazionari uguagliamo a zero la derivata prima:

  

  Studiamo il segno della derivata prima ponendo: 2x(2x² -3) > 0

  

  Dai punti stazionari e dal segno della derivata prima si deduce che il grafico della funzione:

  • è decrescente negli intervalli

  • è crescente negli intervalli

  • ha due minimi relativi simmetrici rispetto all'asse y di ascissa e ordinata

  • presenta un massimo relativo di ascissa x=0 e y(0)=2

• Concavità e flessi
  
  Calcoliamo la derivata seconda:

  y" = 12x² -6 = 6(2x² -1)

  esaminiamo il suo segno:

  y" > 0 → 6(2x² -1) > 0 →
  

  y" < 0 → 6(2x² -1) < 0 →
  

  y" = 0 → 6(2x² -1) = 0 →

  e costruiamo lo schema del segno della derivata seconda:

  

  Dal segno della derivata seconda si deduce che il grafico della funzione:

  • è convessa negli intervalli

  • è concava nell'intervallo

  • ha due punti di flesso di ascissa e ordinata:

• Grafico della funzione
  
  Ora abbiamo tutte le informazioni per tracciare il grafico della funzione:

  

Osservazioni generali:

Tutte le funzioni razionali intere presentano le seguenti caratteristiche:

• Il dominio coincide con l'insieme dei numeri reali pertanto non possono avere:

  • punti di discontinuità

  • punti angolosi

  • cuspidi

  • flessi a tangenti verticali

  • asintoti