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Studio di una funzione esponenziale con indice fratto
Studiare la funzione
e tracciare il suo grafico.
Dominio della funzione
Essendo l'esponente una frazione bisogna porre la condizione che il denominatore sia diverso da zero e cioè:x ≠ 0
Pertanto il dominio della funzione è:
D = {x ∈ R | x ≠ 0}
Simmetrie e periodicità
Si verifica che f(-x) ≠ f(x) e f(-x) ≠ -f(x), pertanto la funzione non è nè pari nè dispari.Segno e intersezioni con gli assi
Studiamo il segno:
La funzione è sempre positiva per ogni x∈D, inoltre la funzione non è mai nulla e quindi non interseca l'asse x e non interseca nemmeno l'asse y perchè la funzione non è definita per x=0. Dunque il grafico della funzione occupa solo il I e il II qudrante.
Asintoti
Asintoti verticali: calcoliamo il limite della funzione per x che tende a zero da destra e da sinistra:
Dunque la retta x=0 è un asintoto verticale sinistro per il grafico della funzione.
Asintoti orizzontali: calcoliamo il limite della funzione per x→+;∞ e per x→-;∞.
La retta y=e è quindi un asintoto orizzontale sia destro sia sinistro. il grafico della funzione.
Asintoti obliqui: non esiste l'asintoto obliquo.Cresenza, decrescenza, massimi e minimi
Calcoliamo la derivata prima della funzione:
Studiamo il segno della derivata prima ossia:
Essendo entrambi i fattori sempre positivi per ogni x appartenente al dominio anche la derivata prima è sempre positiva per ogni x appartenente al dominio. Ne segue che la funzione è sempre crescente e non ha nè massimi nè minimi.
Concavità e flessi
Calcoliamo la derivata seconda:
Esaminiamo il segno della derivata seconda:
La derivata seconda si annulla per x=1/2 e sostituendo nella funzione si ottiene:
Possiamo quindi dedurre che il grafico della funzione:
è convessa nell'intervall0 (-∞, 0) e (0, 1/2)
è concava nell'intervallo (1/2, +∞)
ha un flesso nel punto (1/2, 1/e)
Grafico della funzione
Ora abbiamo tutte le informazioni per tracciare il grafico della funzione:
