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Studio di una funzione algebrica razionale fratta
Studiare la funzione
e tracciare il suo grafico.
Dominio della funzione
Essendo una funzione algebrica fratta il suo dominio è tutto l'insieme dei numeri reali escluso i valori di x che annullano il denominatore:(2x-1)2 ≠ 0 → x ≠ 1/2
Pertanto il dominio è: D = { x ∈R | x ≠ 1/2 }
Simmetrie e periodicità
Verifichiamo se la funzione è pari:
Poniamo -x al posto di x nella funzione e vediamo se la nuova funzione risulta uguale a quella iniziale cioè, se f(-x)=f(x):
Verifichiamo se la funzione è dispari cioè se -f(x)=f(-x)
Pertanto, la funzione non è nè pari nè dispari.
Segno e intersezioni con gli assi
Studiamo il segno:
Risolviamo la disequazione
Per determinare i punti di intersezione con l'asse x poniamo y = 0 nell'equazione della funzione:
Si deduce che il grafico della funzione interseca l'asse y nel punto di coordinate (0, 0).
Lo schema del segno della funzione è quindi:
Dalle informazioni aquisite si deduce che il grafico della funzione appartiene alle regioni del piano cartesiano non colorate e passa per l'origine degli assi.
Asintoti
Asintoti verticali: essendo x = 1/2 l'unico valore finito escluso dal dominio dobbiamo calcolare i limiti, destro e sinistro per x tendete a 1/2.
Pertanto la retta x=1/2 è un asintoto verticale.
Asintoti orizzontali: calcoliamo i limiti della funzione per x→-∞ e per x→+∞:
Non ci sono asintoti orizzontali.
Asintoti obliqui: calcoliamo il limite del rapporto f(x)/x per x→-∞ e per x→+∞ e se tale limite è un numero finito m calcoliamo il limite della differenza f(x)-mx per x che tende a infinito:
La retta di equazione
è un asintoto obliquo (sia destro sia sinistro).
Cresenza, decrescenza, massimi e minimi
Calcoliamo la derivata prima della funzione:
e determiniamo i punti stazionari uguagliando a zero la derivata prima:
Studiamo il segno della derivata prima:
Dai punti stazionari e dal segno della derivata prima si deduce che il grafico della funzione:
è decrescente nell'intervallo (1/2, 3/2]
è crescente negli intervalli (-∞, 1/2), (1/2, +∞)
ha un flesso orizzontale nell'origine degli assi
presenta un minimo relativo di ascissa x=3/2 e y(3/2)=27/32
Concavità e flessi
Calcoliamo la derivata seconda:
esaminiamo il suo segno:
e costruiamo lo schema del segno della derivata seconda:
Dal segno della derivata seconda si deduce che il grafico della funzione:
è convessa negli intervalli (0, 1/2), (1/2, +∞)
è concava nell'intervallo (-∞, 0)
ha un solo punto di flesso a tangente orizzontale nell'origine degli assi.
Grafico della funzione
Ora abbiamo tutte le informazioni per tracciare il grafico della funzione:
Osservazioni generali:
Tutte le funzioni razionali frazionarie presentano le seguenti caratteristiche:
Il dominio è tutto l'insieme dei numeri reali esclusi quei valori di x che annullano il polinomio al denominatore.
Nel grafico sono presenti gli asintoti verticali in corrispondenza dei valori di x che annullano il denominatore.
Nel grafico sono presenti asintoti orizzontali se e solo se il polinomio al numeratore e il polinomio al denominatore hanno lo stesso grado.
Nel grafico sono presenti asintoti obliqui se e solo se il grado del polinomio al numeratore supera di 1 il grado del polinomio al denominatore.
