;
Studio di una funzione esponenziale
Studiare la funzione
e tracciare il suo grafico.
Dominio della funzione
La funzione essendo il prodotto tra una funzione polinomiale e una funzione esponenziale con base maggiore di 1 è definita per ∀x ∈ R.Simmetrie e periodicità
Si verifica che f(-x) ≠ f(x) e f(-x) ≠ -f(x), pertanto la funzione non è nè pari nè dispari.Segno e intersezioni con gli assi
Studiamo il segno:
Essendo i due fattori sempre positivi per ogni x≠0 la funzione è sempre positiva ed è nulla per x=0 e quindi il grafico della funzione incontra gli assi solo nell'origine e occupa solo il I e il II qudrante.
Asintoti
Asintoti verticali: essendo la funzione continua nel suo dominio il grafico non presenta asintoti verticali.
Asintoti orizzontali: calcoliamo il limite della funzione per x→+;∞. Essendo tale limite una forma indeterminata applichiamo due volte il teorema di De L'Hopital:
Calcoliamo il limite della funzione per x→-;∞
Essendo finito il limite per x che tende a più infinito si deduce che il semiasse positivo delle ascisse è asintoto orizzontale destro per il grafico della funzione.
Asintoti obliqui: calcoliamo il limite del rapporto f(x)/x per x→-∞:
Essendo infinito il limite non esiste l'asintoto obliquo.
Cresenza, decrescenza, massimi e minimi
Calcoliamo la derivata prima della funzione:
Osserviamo che la derivata prima si annulla per x=0 e per x=2. Essendo f(0)=0 e f(2)=4e-2 i punti (0, 0) e (2, 4e-2) sono punti del grafico in cui la tangente è parallela all'asse x.
Determiniamo il segno della derivata prima:
Pertanto la funzione:
è crescente nell'intervallo (0, 2)
è decrescente negli intervalli (-∞, 0) e (2, +∞)
ha un minimo relativo nel punto (0, 0) e un massimo relativo nel punto (2, 4e-2)
Concavità e flessi
Calcoliamo la derivata seconda:
Esaminiamo il segno della derivata seconda:
Possiamo quindi dedurre che il grafico della funzione:
è convessa negli intervalli (-∞, 2-√2] e [2+√2, +∞)
è concava nell'intervallo (2-√2, 2+√2)
ha un flesso per x= 2-√2
ha un flesso per x= 2+√2
Grafico della funzione
Ora abbiamo tutte le informazioni per tracciare il grafico della funzione:
