Cosa devi sapere sui teoremi sulle funzioni derivabili

Teorema di Cauchy

Teorema di Cauchy:

Se due funzioni f(x) e g(x) continue e definite nello stesso intervallo [a, b], e derivabili in (a, b) e g'(x₀)≠0 in ogni punto interno dell'intervallo (a, b), allora esiste almeno un punto x₀∈(a, b) tale che:

Ossia:

Dimostrazione:

Per la dimostrazione si utilizza una funzione ausiliare h(x) che è una combinazione lineare delle due funzioni f(x) e g(x).

h(x)=[f(b) - f(a)] ⋅ g(x) - [g(b) - g(a)] ⋅ f(x)

La funzione h(x) così costruita è continua nell'intervallo [a, b], è derivabile in (a, b), e ha lo stesso valore agli estremi a e b dell'intervallo. Possiamo allora applicare il teorema di Rolle affermando che esiste almeno un punto x₀ per cui risulta h'(x₀)=0. Ossia:

h'(x₀)=[f(b) - f(a)] ⋅ g'(x₀) - [g(b) - g(a)] ⋅ f'(x₀)= 0

Cioè