Teorema di Fermat
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato [a, b] e derivabile in x0 ∈(a, b). Se x0 è un punto di estremo locale allora f'(x0)=0.
Ossia:
Geometricamente questo teorema afferma che in un punto di massimo o minimo locale la tangente alla curva y=f(x), ammesso che esista, risulta parallela all'asse x.
Dimostrazione:
Sia per esempio, x0∈(a, b) un punto di massimo locale per la funzione f(x), esisterà allora un intorno I del punto x0 contenuto in [a, b] tale che:f(x) ≤ f(x0) ∀ x∈ I
Preso un incremento h≠0 in modo che (x0+h)∈I e essendo f(x0) un massimo locale si ha:
f(x0+h) - f(x0) ≤ 0
Ora, consideriamo i rapporti incrementali destro e sinistro della funzione relativi al punto x0:
e la derivata sinistra e destra della funzione relativa al punto x0:
Siccome dall'ipotesi sappiamo che la derivata della funzione relativa a x0 esiste allora la derivata destra e la derivata sinistra esistono, sono finiti ed uguali fra loro e quindi l'unica possibilità è che siano entrambe nulle da cui la tesi f'(x0)=0.
Analogamente si arriva alla stessa conclusione se in x0∈(a, b) la funzione f(x) ha un punto di minimo locale.
Prima osservazione:
Per la validità del teorema è necessario che il minimo e massimo siano locali e quindi il punto x0 sia interno all'intervallo dove f(x) è definita. Ad esempio, se il minimo e il massimo sono assoluti e x0=a oppure x0=b la retta tangente alla curva y=f(x) passante per il punto x0 potrebbe non essere parallela all'asse x.
Seconda osservazione:
Non vale il teorema inverso cioè in un punto x0 del grafico della funzione y=f(x) la derivata può essere nulla senza che x0 sia un massimo o minimo relativo. Ad esempio per la funzione:f(x)=(x - 1)3 + 1
la derivata di f(x) si annulla per x0=1, ma x0 non è nè punto di massimo nè punto di minimo locale della funzione come si vede dal grafico.
Pertanto il teorema di Fermat esprime una condizione necessaria ma non sufficiente affinchè un punto x0 sia di estremo locale.
