Cosa devi sapere sui teoremi sulle funzioni derivabili

Punti di non derivabilità

Abbiamo visto che una funzione pur essendo continua in un punto x₀ può non essere derivabile in quel punto. Dalla definizione di derivata sappiamo anche che i punti di non derivabilità di una funzione sono quei punti in cui il limite del rapporto incrementale non esiste oppure è infinito. Ora vediamo quali comportamenti ha una funzione continua nell'intorno di quei punti non derivaribili.

1. La derivata destra e la derivata sinistra in x₀ sono entrambe finite ma di segno opposto.
   
   Dal punto di vista geometrico questo significa che nel punto x₀ esistono due rette tangenti alla curva della funzione una a destra e una a sinistra del punto x₀. Le due rette tangenti hanno coefficienti angolari opposti e formano un angolo il cui vertice è il punto x₀. Per questo motivo si dice che la funzione ha in x₀ un punto angoloso. In generale, i punti angolosi sono presenti nelle curve delle funzioni che hanno il valore assoluto nella propria espressione analitica. Queste funzioni pur essendo continue non sono derivabili nei punti x₀ in cui si annulla l'argomento del valore assoluto. Ad esempio, la funzione f(x)=|x| si annulla per x₀=0 e non è derivabile nel punto x₀ e la curva presenta un punto angoloso in x₀=0.

   

2. La derivata destra e la derivata sinistra in x₀ sono entrambe infinite ma di segno opposto.
   
   Dal punto di vista geometrico questo significa che nel punto x₀ la curva della funzione ha una retta tangente parallela all'asse y. Inoltre, la curva della funzione presenta una "punta" nel punto x₀ e si dice che la funzione ha in x₀ una cuspide. In generale, le cuspidi sono presenti nelle curve delle funzioni che hanno il valore assoluto sotto il segno di radice nella propria espressione analitica. Queste funzioni pur essendo continue non sono derivabili nei punti x₀ in cui si annulla l'argomento del valore assoluto. Ad esempio, la funzione

   

   si annulla per x₀=2 e non è derivabile nel punto x₀ e la curva presenta una cuspide in x₀=2.

   

3. La derivata destra e la derivata sinistra in x₀ sono entrambe infinite e con lo stesso segno.
   
   Dal punto di vista geometrico questo significa che nel punto x₀ esiste una retta tangenti verticale alla curva e in quel punto la curva cambia concavità passando da concava a convessa (o viceversa) con continuità. In questo caso si dice che la funzione ha in x₀ un punto di flesso a tangente verticale. Ad esempio, la funzione

   

   si annulla per x₀=-1 e non è derivabile nel punto x₀ e la curva presenta un punto di flesso a tangente verticale in x₀=-1.