Teorema di Weierstrass
Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b], allora f(x) è dotato di minimo e di massimo assoluto in [a, b], cioè esistono due punti
x1, x2 ∈ [a, b]
tali che
M = f(x1) ≥ f(x) e m = f(x2) ≤ f(x) ∀ x ∈ [a, b]
dove M e m sono rispettivamente il valore massimo e il valore minimo che f(x) assume nell'intervallo [a, b].
Questo teorema afferma semplicemente che il grafico di una funzione continua in un intervallo chiuso avrà un'ordinata che si trova più in alto di tutti le altre (massimo M) e un'ordinata che si trova più in basso delle altre (minimo m).
Il minimo e il massimo assoluto di una funzione f(x) continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] possono essere assunti sia in punti interni all'intervallo [a, b] sia agli estremi dell'intervallo [a, b].
I valori massimo e minimo assoluti di una funzione sono anche detto valori estremali assoluti della funzione. E' importante tener presente che il teorema di Weierstrass è valido se e solo se valgono contemporaneamente tutte e tre le ipotesi:
[a, b] intervallo limitato;
[a, b] intervallo chiuso;
f(x) continua nell'intervallo [a, b].
Se una sola di queste tre condizioni viene a cadere il teorema non è applicabile e quindi non è garantita l'esistenza del massimo e del minimo assoluto. Vediamo alcuni esempi:
Esempio1: Stabilire se per la funzione f(x)=x definita in R vale il teorema di Weierstrass.
la funzione è continua in tutto R, l'intervallo è chiuso ma non è limitato e quindi il teorema di Weierstrass non è applicabile. In particolare la funzione f(x)=x definita in R non è dotata di massimo e minimo assoluto.Esempio2: Stabilire se per la funzione f(x)=x definita in (-1/3, 5/4) vale il teorema di Weierstrass.
La funzione f(x)=x è continua in tutti i punti interni all'intervallo ma non negli estremi e quindi il teorema di Weierstrass non è applicabile.Esempio3: Stabilire se per la funzione f(x)=1/(x-2) definita in [1, 3] vale il teorema di Weierstrass.
La funzione f(x) non è continua perchè non è definita per x=2 e quindi non si può applicare il teorema di Weierstrass.Esempio4: Stabilire se per la funzione
definita in [1, 3] vale il teorema di Weierstrass.
La funzione è definita purchè sia:
La funzione è continua nel suo dominio D e quindi è continua anche nell'intervallo limitato e chiuso [1, 3] che è contenuto in D. Pertanto in base al teorema di Weierstrass la funzione f(x) ammette minimo e massimo assoluto dell'intervallo considerato.
