Teorema di Lagrange (o del valore medio)
Teorema di Lagrange (o del valore medio):
Se una funzione y=f(x) è continua nell'intervallo [a, b], e derivabile in (a, b), allora esiste almeno un punto x0∈(a, b) tale che:
Ossia:
Dal punto di vista geometrico questo teorema afferma che se consideriamo il grafico di una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b) esiste almeno un punto x0∈(a, b) tale che la tangente al grafico nel punto P(x0, f(x0)) sia parallela alla secante passante per i punti A(a, f(a)), B(b, f(b)). Ad esempio, la funzione y=x-0,5x3 continua nell'intervallo chiuso [-2, 1] e derivabile in (-2, 1) ha almeno una retta parallela alla secante y=0,5x+1 passante per gli estremi dell'intervallo chiuso.
Il teorema di Lagrange è una generalizzazione del teorema di Rolle. Infatti, se f(a)=f(b) si ha f'(x0)=0.
Dimostrazione:
Per la dimostrazione si utilizza una funzione ausiliare g(x) che sia continua nell'intervallo [a, b], derivabile in (a, b), e che abbia lo stesso valore agli estremi a e b dell'intervallo:g(x)=f(x)(b - a) - x ⋅ [f(b) - f(a)]
Ad esempio:
Possiamo allora applicare il teorema di Rolle affermando che esiste almeno un punto x0 per cui risulta g'(x0)=0. Ossia
g'(x0)=f'(x)(b - a) - 1 ⋅ [f(b) - f(a)] = 0
Cioè
Esempio 1: Verificare che la funzione:
nell'intervallo [-2, 3] soddisfi il teorema di Lagrange nell'intervallo indicato ed eventualmente calcolare l'ascissa del punto che verifica il teorema.
La funzione essendo un polinomio è senz'altro continua in ogni possibile intervallo di R e quindi è continua anche in [-2, 3]. Inoltre, la funzione non ha nè punti di discontinuità nè punti angolosi nè cuspide per cui è deivabile in (-2, 3) e il teorema di Lagrange è applicabile. Dalla relazione:
si ha:
Pertanto la tangente t alla curva parallela alla secante passante per gli estremi dell'intervallo ha ascissa x0=1/2. Il coefficiente angolare della retta tangente t è quindi:
e l'equazione della retta tangente t è:
mentre l'equazione della secante passante per i punti A(-2, -1), B(3,2) è:
Possiamo verificare i risultati con la rappresentazione grafica:
Esempio 2: Verificare che la funzione:
nell'intervallo [0, 3] soddisfi il teorema di Lagrange nell'intervallo indicato ed eventualmente calcolare l'ascissa del punto che verifica il teorema.
La funzione non è continua in x=3, quindi il teorema di Lagrange non è applicabile.Esempio 3: Verificare che la funzione:
f(x) = x2 + |x - 1|
nell'intervallo [0, 2] soddisfi il teorema di Lagrange nell'intervallo indicato ed eventualmente calcolare l'ascissa del punto che verifica il teorema.
La funzione è continua in [0, 2], ma non è derivabile in x=1
quindi il teorema di Lagrange non è applicabile.
