Cosa devi sapere sui teoremi sulle funzioni derivabili

Continuità e derivabilità

Teorema della continuità delle funzioni derivabili:

Se una funzione y=f(x) è derivabile nel punto x₀ allora la funzione è continua in questo punto.

Cioè vale la condizione di continuità di una funzione:

Questo teorema ha un semplice significato geometrico; essendo y=f(x) derivabile in x₀ allora esiste una retta t con pendenza f'(x₀) tangente alla curva della funzione nel suo punto P(x₀, f(x₀)) e pertanto in P la curva non presenta un'interruzione. Possiamo anche dire che la funzione y=f(x) essendo derivabile in x₀ non ha discontinuità nel punto di ascissa x₀.

Dimostrazione:

Pe x≠x₀ vale la relazione:

Applicando il limite per x che tende a x₀ ad entrambi i membri si ha:

Ossia:

E' interessante notare che non vale il teorema inverso per cui una funzione può essere continua in un punto x₀, senza essere derivabile in x₀. Ad esempio, la funzione f(x)=|x-3| è continua in tutto R e quindi è definita e continua anche nel punto x₀=3, ma in questo punto non è derivabile. Infatti:

e considerando la derivata sinistra e la derivata destra si ottiene:

Essendo la derivata sinstra diversa dalla derivata destra la funzione f(x)=|x-3| pur essendo continua in x₀=3 non è derivabile in quel punto.