Cosa devi sapere sugli integrali definiti

Solidi generati dalla rotazione attorno all'asse y

Per determinare il volume di un solido ottenuto dalla rotazione attorno all'asse y e non si vuole (o non è possibile) invertire la funzione y=f(x) si utilizza il metodo dei "gusci cilindrici" cioè cilindri cavi di raggio interno x e raggio esterno x+Δx e altezza f(x). La base del trapezoide viene suddivisa in n rettangoli di base dx e altezza f(x), con la rotazione attorno all'asse y il solido è approssimato dalla somma di n gusci cilindrici di spessore dx, raggio interno x e altezza f(x).

Il volume infinitesimo di ogni guscio sarà uguale a:

(il termine Πd²xf(x) è trascurabile rispetto a dx). Il limite della somma degli infiniti gusci cilindrici di volume dV, cioè il volume del solido di rotazione può essere quindi espresso mediante l'integrale definito:

Se la regione di piano la cui area è limitata superiormente dalla curva y=f(x) ed inferiormente dalla curva y=g(x), sull'intervallo [a, b], allora il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all'asse y è dato dall'integrale:

Vediamo alcuni esempi:

• Esempio 1: Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all'asse y dell'arco di parabola y=x² compreso nell'intervallo 0≤x≤1.

  

  Applicando la formula si ottiene:

  

  Un altro modo di risolvere questo problema consiste nel considerare che la regione di piano sia limitata superiormente dalla curva f(x)=1, ed inferiormente dalla curva g(x)=x², sull'intervallo [0, 1], in tal caso il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all'asse y è dato:

  

• Esempio 2: Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all'asse y della regione di piano limitato superiormente dalla funzione g(x)=√x e inferiormente dalla funzione f(x)=x² sull'intervallo [0, 1].

  

  Applicando la formula si ottiene:

  

• Esempio 3: Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all'asse y della regione di piano limitata superiormente da f(x)=2-x² e inferiormente da g(x)=x² sull'intervallo [0, 1].

  

  Applicando la formula si ottiene:

  

• Esempio 4: Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all'asse y della regione di piano limitata dal grafico della funzione

  

  dall'asse delle ascisse e dalle rette di equazione x=0 e x=2.

  

  Applicando la formula si ottiene:

  

• Esempio 5: Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all'asse y della regione di piano limitata dal grafico di f(x)=-x²+6x-5, dall'asse delle ascisse e dalle rette di equazione x=1 e x=3.

  

  Applicando la formula si ottiene: