Cosa devi sapere sugli integrali definiti

Il teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema fondamentale del calcolo integrale:

L'integrale definito di una funzione continua f(x), calcolato sull'intervallo [a, b] è uguale alla differenza fra i valori che una qualunque primitiva F(x) di f(x) assume in b e in a. In simboli:

In pratica, per calcolare un integrale definito fra a e b di f(x), si calcola prima l'integrale indefinito di f(x) e si scrive la funzione ottenuta tra due parentesi quadre indicando gli estremi di integrazione. Poi si sostituisce alla x il valore che compare nell'estremo superiore del segno di integrale (cioè b) e quello che compare all'estremo inferiore (cioè a). In questo modo si ottengono due valori che sono F(b) e F(a) e il risultato dell'integrale definito è uguale alla differenza tra questi due valori. Vediamo alcuni esempi:

• Esempio 1: Calcoliamo l'integrale definito:

  Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha:

  

  Essendo f(x)=2x sempre positiva nell'intervallo [0, 3] dal punto di vista geometrico il valore che abbiamo determinato dal calcolo dell'integrale definito rappresenta la misura dell'area della regione di piano delimitata dalla retta di equazione y=2x, dall'asse x e dalle rette x=0 e x=3.

  
• Esempio 2: Calcoliamo l'integrale definito:

  Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha:

  

  Essendo f(x)=x²/4 sempre positiva nell'intervallo [0, 4] dal punto di vista geometrico il valore che abbiamo determinato dal calcolo dell'integrale definito rappresenta la misura dell'area della regione di piano delimitata dalla parabola di equazione y=x²/4, dall'asse x e dalle rette x=0 e x=4.

  
• Esempio 3: Calcoliamo l'integrale definito:

  Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha:

  

  Essendo f(x)=4x/(x²+1) sempre positiva nell'intervallo [1, 3] dal punto di vista geometrico il valore che abbiamo determinato dal calcolo dell'integrale definito rappresenta la misura dell'area della regione di piano delimitata dalla curva di equazione y=4x/(x²+1), dall'asse x e dalle rette x=1 e x=3.

  
• Esempio 4: Calcoliamo l'integrale definito

  Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha:

  

  Essendo f(x)=sin x sempre positiva nell'intervallo [0, Π] dal punto di vista geometrico il valore che abbiamo determinato dal calcolo dell'integrale definito rappresenta la misura dell'area della regione di piano delimitata dalla curva di equazione y=sin x, dall'asse x e dalle rette x=0 e x=Π.

  
• Esempio 5: Calcoliamo l'integrale definito:

  Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha:

  

  Essendo f(x)=1/x sempre positiva nell'intervallo [0, e;] dal punto di vista geometrico il valore che abbiamo determinato dal calcolo dell'integrale definito rappresenta la misura dell'area della regione di piano delimitata dalla curva di equazione y=1/x, dall'asse x e dalle rette x=0 e x=e.