Cosa devi sapere sugli integrali definiti

Calcolo dell'area sottesa da una curva

Il calcolo dell'area di una qualsiasi superficie piana limitata da segmenti è semplice perchè è sempre possibile scomporla in un numero finito di triangoli e sommare le loro aree. Non è così facile il calcolo dell'area di una superficie piana che abbia un contorno curvilineo, per esempio un cerchio non è suddivisibile in triangoli e non è equiscomponibile con alcun poligono. Non possiamo dunque applicare alle superficie piane dal contorno mistilineo la stessa procedura di calcolo dell'area adottata per i poligoni. Il problema del calcolo dell'area di un cerchio è molto antico ed è stato risolto con il metodo di esaustione utilizzato da Eudosso (intorno al 360 a.C.) e poi da Archimede (287-212 a.C.). Questo metodo si basa su un'idea molto semplice: approssimare la superficie del cerchio con un'altra, di cui sia facile calcolare l'area. Un cerchio può essere approssimato dai poligoni regolari inscritti e che tali approssimazioni sono tanto migliori quanto più grande è il numero dei lati. I poligoni inscritti, all'aumentare del numero dei lati, tendono a esaurire il cerchio, tendono ad avere la stessa estensione del cerchio. Questo nuovo modo di definire l'area di un cerchio può essere facilmente generalizzato a qualsiasi superficie piana dal contorno curvilineo.

Ad esempio vogliamo calcolare l'area della regione di piano detta trapezoide delimitata dall'asse x, dalle rette di equazione x=a e x=b e dalla curva di equazione y=f(x) dove f(x) è una funzione positiva definita e continua nell'intervallo chiuso e limitato [a, b].

Utilizzando il metodo di esaustione possiamo approssimare l'area del trapezoide con dei rettangoli inscritti e dei rettangoli circoscritti. Dividiamo l'intervallo [a, b] in quattro intervalli parziali uguali e indichiamo con m_i e M_i il minimo e il massimo valore di f(x) nell'i-esimo intervallo. Costruiamo i quattro rettangoli inscritti nel trapezoide aventi per base l'ampiezza di un intervallo parziale e per altezza m_i.

Ogni rettangolo avrà, quindi, per base

e per altezza il minimo m_i di f(x) sull'i-esimo intervallo. L'area totale dei quattro rettangoli inscritti nel trapezoide è data da:

Consideriamo ora, i quattro rettangoli circoscritti al trapezoide aventi per base l'ampiezza di un intervallo parziale e per altezza M_i.

Ogni rettangolo avrà per base

e per altezza il massimo M_i di f(x) sull'i-esimo intervallo. L'area totale dei quattro rettangoli circoscritti nel trapezoide è data da:

Naturalmente l'area T del trapezoide risulta:

s₄ < T < S₄

E s₄ rappresenta un'approssimazione per difetto della misura dell'area T, mentre S₄ rappresenta un'approssimazione per eccesso. Aumentando il numero n degli intervalli parziali aumentano anche il numero dei rettangoli inscritti e circoscritti al trapezoide ne segue che:

• il valore di s_n tende a crescere ma non diventa mai maggiore del valore di T;

• il valore di S_n tende a decrescere ma non diventa mai minore del valore di T;

• la differenza tra S_n e s_n tende a ridursi sempre di più.

Se la funzione f(x) è continua e positiva nell'intervallo chiuso e limitato [a, b] allora le misure delle aree s_n e S_n per n che tende all'infinito sono convergenti e convergono verso lo stesso numero che rappresenta la misura dell'area T del trapezoide.

Il valore T comune dei due limiti è detto integrale definito della funzione f(x) nell'intervallo [a, b] e si indica con il simbolo:

Il termine f(x)dx indica che si sommano le aree di infiniti rettangoli che hanno altezza f(x) e base dx, il simbolo dell'integrale che assomiglia alla lettera S indica che stiamo considerando una somma di aree, mentre i numeri a e b detti estremi di integrazione (a estremo inferiore, b estremo superiore) indicano in quale intervallo della funzione si calcola l'area sottesa dal grafico di f(x).

Nel caso più semplice in cui la funzione f(x) è una costante positiva cioè f(x)=k con k>0 l'integrale definito

rappresenta l'area del rettangolo con base (b-a) e con altezza k.