Cosa devi sapere sugli integrali definiti

Calcolo dell'area racchiusa fra due o più curve

Vogliamo ora vedere come si può determinare l'area di una superficie racchiua tra due curve qualunque f(x) e g(x) esaminando vari casi.

1. Calcoliamo l'area della superficie T racchiusa dalle due funzioni f(x)=x+1 e g(x)=x²-2x+1.

   

   Dal grafico possiamo notare che le due curve una retta e una parabola si intersecano nei punti A(0,1) e B(3, 4) e quindi la superficie da misurare è compresa tra:

   0 ≤ x ≤ 3;    e    x²-2x+1 ≤ y ≤ x+1

   Inoltre, possiamo osservare che f(x)≥g(x), entrambe le funzioni sono sempre positive nell'intervallo [0, 3] e la superficie T si può ottenere per differenza tra i due trapezoidi:

   • T₁ = superficie sottesa da f(x)=x+1, dall'asse x e dalle rette x=0 e x=3.

   • T₂ = superficie sottesa da g(x)=x²-2x+1, dall'asse x e dalle rette x=0 e x=3.

   Pertanto risulta: T = T₁ - T₂
   
   Che possiamo tradurre in:

   

   Cioè

   

   E svolgendo si ottiene:

   

2. Calcoliamo l'area della superficie T racchiusa dalle due funzioni f(x)=x+1 e g(x)=x²+3x-2.

   

   Dal grafico possiamo notare che le due curve una retta e una parabola si intersecano nei punti A(-3,-2) e B(1, 2) e quindi la superficie da misurare è compresa tra:

   -3 ≤ x ≤ 1;    e    x²+3x-2 ≤ y ≤ x+1

   Inoltre, possiamo osservare che f(x)≥g(x), ma ora le due funzioni non sono sempre positive nell'intervallo [-3, 1]. Se applichiamo alle due curve una traslazione di vettore (0, 4,5) cioè una traslazione con componente verticale y=4,5

   

   le due funzioni:

   f(x) + 4,5;      g(x) + 4,5

   risulteranno entrambe positive nell'intervallo [-3, 1] inoltre, la superficie T₃ compresa tra queste due funzioni è equivalente alla superficie T perchè le traslazioni conservano le misure delle aree. Pertanto l'area di T si può ottenere per differenza tra i due trapezoidi:

   • T₁ = superficie sottesa da f(x)=x+1+4,5, dall'asse x e dalle rette x=0 e x=4.

   • T₂ = superficie sottesa da g(x)=x²-2x+1+4,5, dall'asse x e dalle rette x=0 e x=4.

   E cioè T = T₁ - T₂
   
   Che si traduce in:

   

   Possiamo quindi calcolare l'area T mediante l'integrale definito della differenza tra le due funzioni f(x) e g(x) con gli estremi le ascisse dei due punti in cui le due curve si intersecano. Svolgendo l'integrale si ottiene:

   

   In generale:
   
   La misura dell'area di una superficie delimitata da due funzioni f(x) e g(x) con f(x)≥g(x) è data dall'integrale definito della differenza tra i valori assunti dalle due funzioni nell'intervallo [a, b] dove a e b sono le ascisse dei punti di intersezione delle curve:

   

3. Calcoliamo l'area della superficie T racchiusa dalle tre funzioni

   f(x) = 2x + 5      g(x) = x² - x + 1      h(x) = x² - 3x + 5

   

   Dal grafico possiamo notare che le tre curve una retta e due parabole si intersecano nei punti A(-1,3), B(0, 5), C(2, 3) e quindi la superficie da misurare è compresa tra:

   -1 ≤ x ≤ 0;    e    x²-x+1 ≤ y ≤ 2x+5

   0 ≤ x ≤ 2;    e    x²-x+1 ≤ y ≤ x²-3x+5

   -1, 0, 2 sono le ascisse dei punti di intersezione delle curve rispettivamente tra f(x) e g(x), tra f(x) e h(x), tra h(x) e g(x). Tenendo conto della conclusione generale del punto precedente si ha:

   

   Applicando le proprietà degli integrali definiti possiamo semplificare la somma degli integrali:

   

   La relazione:

   

   ci permette di enunciare una regola pratica per determinare l'area di una regione di piano sottesa da più di due curve:
   
   Partento da uno qualunque dei punti di intersezione delle funzioni si percorre il bordo della regione in senso orario e si esegue la somma degli integrali definiti delle funzioni tra le ascisse dei punti che sono estremi delle curve stesse.

   

   Svolgendo gli integrali si ottiene: