Cosa si deve sapere sulla parabola

Fasci di parabole

Date due parabole con l'asse di simmetria parallelo all'asse y di equazioni:

y = ax² + bx + c     e     y = a'x² + b'x + c'

la loro combinazione lineare

p(y - ax² - bx - c) + q(y - a'x² - b'x - c') = 0

tramite due parametri reali p e q non entrambi nulli rappresenta l'equazione di infinite parabole al variare di p e q. L'insieme di tutte queste parabole è chiamato fascio di parabole e le due parabole iniziali vengono dette parabole generatrici del fascio. Se p è diverso da zero e dividiamo tutti i termini per p e poniamo k=q/p otteniamo l'equazione del fascio espressa nel solo parametro k:

y - ax² - bx - c + k(y - a'x² - b'x - c') = 0

Per k=0 si ottiene la parabola generatrice y=ax²+bx+c. Per k che tende all'infinito si ottiene l'equazione dell'altra parabola generatrice y=a'x²+b'x+c'.

L'equazione del fascio può essere riscritta nella forma:

(k + 1)y - (a + ka')x² - (b + kb')x - (c + kc') = 0

oppure nella forma:

che rappresenta una parabola per k≠-1 e k≠-a/a'. Mentre per k=-1 e k=-a/a si ottengono una o due rette verticali. Vediamo questi due casi:

• Consideriamo il caso in cui k=-1:
  
  Nell'equazione del fascio:

  (k + 1)y - (a + ka')x² - (b + kb')x - (c + kc') = 0
  

  si annulla il coefficiente di y e si riduce a un'equazione di secondo grado nella variabile x:
  

  (a + ka')x² - (b + kb')x - (c + kc') = 0

  Tale equazione può avere:

  • due soluzioni distinte (se Δ > 0);

  • due soluzioni coincidenti (se Δ = 0);

  • nessuna soluzione (se Δ < 0).

  Nel primo caso si ottengono due rette verticali x=x₁ e x=x₂, nel secondo caso la retta verticale x=x₁=x₂, nel terzo caso nessuna retta. Queste rette vengono dette parabole degenere.

• Consideriamo il caso in cui k=-a/a':
  
  Nell'equazione:
  

  (k + 1)y - (a + ka')x² - (b + kb')x - (c + kc') = 0

  si annulla il coefficiente di x² e si riduce a una equazione di primo grado nelle variabili x, y:

  (k + 1)y - (b + kb')x - (c + kc') = 0
  

  che rappresenta una parabola degenere costituita da una retta.

La reciproca posizione e concavità delle due parabole generatrici del fasco determina i vari tipi di fasci. Infatti, ponendo a sistema le equazioni delle due parabole generatrici del fascio si ottiene l'equazione risolvente:

(a - a')x² + (b - b')x + (c - c') = 0

che presenta due casi distinti:

1. a ≠ a' (le due generatrici non sono congruenti oppure sono congruenti ma hanno concavità opposte)

2. a = a' (le due generatrici sono congruenti e hanno la stessa concavità)

• Primo caso: a ≠ a'
  
  Essendo a ≠ a' l'equazione (a - a')x² + (b - b')x + (c - c' )= 0 è di secondo grado e può avere:

  • due soluzioni (se Δ > 0).
    
    In tal caso le generatrici ma anche ogni coppia di parabole del fascio si intersecano in due punti A(x₁, y₁) e B(x₁, y₁) detti punti base del fascio. Inoltre, il fascio contiene sia la parabola degenere:

    (x - x₁)(x - x₂) = 0

    che si spezza in due rette verticali

    x = x₁     e     x = x₂

    che la parabola degenere rappresentata dalla retta che passa per i due punti base.
    

    

  • una sola soluzione (se Δ = 0).
    
    In tal caso le generatrici ma anche ogni coppia di parabole del fascio sono tangenti nel punto A(x₁, y₁) e il fascio ha un solo punto base (doppio). Inoltre, il fascio contiene sia la parabola degenere:

    (x - x₁)² = 0

    (che corrisponde alla retta verticale x = x₁), sia la parabola degenere rappresentata dalla retta tangente comune a tutte le parabole e passante per il punto base.
    

    

  • nessuna soluzione (se Δ < 0).
    
    In tal caso le generatrici ma anche ogni coppia di parabole del fascio non si intersecano e il fascio non ha punti base. Inoltre, il fascio contiene una parabola degenere rappresentata dalla retta che si ottiene ponendo k=-a/a'.
    

    

• Secondo caso: a = a'
  
  Essendo a = a' tutte le parabole del fascio hanno la stessa apertura e sono quindi congruenti e la loro concavità è sempre rivolta verso l'alto o verso il basso. Inoltre, l'equazione

  (a - a')x² + (b - b')x + (c - c') = 0

  si riduce a un'equazione di primo grado in x:
  

  (b - b')x + (c - c') = 0
  

  e si possono presentare due casi:

  • Primo caso: b ≠ b'
    
    Le generatrici ma anche ogni coppia di parabole del fascio hanno un solo punto base A(x₁, y₁) e quindi una parabola degenere x = x₁.
    

    

  • Secondo caso: b = b'
    
    Il fascio non ha punti base e parabole degenere. Inoltre, tutte le parabole del fascio hanno lo stesso asse che rappresenta il luogo dei vertici.