Cosa si deve sapere sulla parabola

Segmento parabolico

Data una parabola, il segmento AB che unisce due punti A e B distinti della parabola è detto corda della parabola mentre la regione di piano delimitata dall'arco di parabola AB e dalla corda AB è detta segmento parabolico di base AB:

E' stato dimostrato da Archimede che l'area di un segmento parabolico di base AB è i 2/3 dell'area del rettangolo AA'B'B, dove A' e B' sono le proiezioni di A e B sulla tangente alla parabola parallela ad AB.

Ad esempio, determiniamo l'area S del segmento parabolico individuato dalla parabola di equazione:

y = x² - 3x - 2

e dalla retta di equazione y = x - 2.

Risolvendo il sistema delle due equazioni:

otteniamo le coordinate dei punti di intersezione A(0, -2) e B(4, 2). Una generica retta parallela ad AB ha equazione:

y = x + q

E imponendo la condizione di tangenza alla parabola otteniamo q=-6 e quindi la retta tangente alla parabola è:

y = x - 6

Applicando il teorema di Pitagora otteniamo la distanza tra A e B pari a 4√2. La distanza di A dalla retta y=x-6 è 2√2. Pertanto l'area del rettangolo AA'B'B è:

E quindi l'area del segmento parabolico è: