Cosa si deve sapere sulla parabola

Posizioni reciproche tra una parabola e una retta

Una retta è esterna a una parabola se non ha nessun punto in comune con essa, è tangente alla parabola se ha un solo punto in comune con essa, è secante se ha due punti in comune con essa. Se la retta è parallela all'asse della parabola allora può avere un solo punto in comune con la parabola che però non è un punto di tangenza.

Per determinare i possibili punti di intersezione tra una retta (non parallela all'asse y) e una parabola bisogna risolvere il sistema formato dall'equazione della retta e dall'equazione della parabola. L'equazione risolvente di tale sistema è un'equazione di secondo grado in x che può avere due, una o nessuna soluzione (le soluzioni sono le ascisse degli eventuali punti di intersezione tra la retta e la parabola). Se il discriminante dell'equazione risolvente è:

• maggiore di zero si hanno due soluzione e la retta è secante alla parabola

• uguale a zero si ha una sola soluzione doppia e la retta è tangente alla parabola

• minore di zero allora la retta è esterna alla parabola.

Vediamo alcuni esempi:

• Esempio1: Determiniamo gli eventuali punti di intersezione tra la parabola y=x²-4x+5 e la retta y=x-1.
  
  Risolviamo il sistema:

  
  

  Uguagliando le y si ottiene l'equazione risolvente:

  x² - 4x + 5 = x - 1
  

  che ha per soluzione x₁=2, x₂=3. Sostituendo questi due valori nell'equazione della retta otteniamo le due ordinate y₁=1, y₂=2. La retta è quindi secante e interseca la parabola nei punti (2, 1) e (3, 2).

  
  

• Esempio2: Determiniamo gli eventuali punti di intersezione tra la parabola y=x²-4x+5 e la retta x=3.
  
  Risolviamo il sistema:

  
  

  Sostituendo nella prima equazione del sistema x con 3 si ha:

  y = 3² - 4 ⋅ 3 + 5 = 2
  

  La retta ha quindi un solo punto (3, 2) in comune con la la parabola ma non è tangente alla parabola perchè è parallela all'asse della parabola.

  
  

• Esempio3: Determiniamo gli eventuali punti di intersezione tra la parabola y=x²-4x+5 e la retta y=2x-4.
  
  Risolviamo il sistema:

  
  

  Uguagliando le y si ottiene l'equazione risolvente:

  x² - 4x + 5 = 2x - 4
  

  che ha una sola soluzione doppia x₁=x₂=3. Sostituendo questo valore nell'equazione della retta otteniamo l'ordinata y₁=y₂=2. La retta è quindi tangente alla parabola nel punto (3, 2).

  
  

• Esempio4: Determiniamo gli eventuali punti di intersezione tra la parabola y=x²-4x+5 e la retta y=x-3.
  
  Risolviamo il sistema:

  
  

  Uguagliando le y si ottiene l'equazione risolvente:

  x² - 4x + 5 = x - 3
  

  che non ha soluzioni. La retta è quindi esterna alla parabola.

  
  

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