Rette tangenti a una parabola

Quante rette tangenti a una parabola si possono tracciare passanti per un dato punto P? Dipende dalla posizione del punto P rispetto alla parabola:

• se P è esterno alla parabola si possono tracciare due rette tangenti

• se P è un punto della parabola si può tracciare una sola retta tangente

  

• se P è interno alla parabola non si può tracciare nessuna retta tangente

  

Per determinare le rette tangenti a una parabola passante per un generico punto P(x₀, y₀) esterno alla parabola si procede cosí:

• si scrive l'equazione del fascio di rette proprio di centro P:

  y = m(x - x₀) + y₀

• si scrive il sistema formato dalle equazioni del fascio di rette e della parabola:

  
• si scrive l'equazione risolvente del sistema:

  ax² + (b - m)x + c + mx₀ - y₀ = 0

• si impone il discriminante uguale a zero (condizione di tangenza):

  Δ = (b - m)² - 4a(c + mx₀ - y₀) = 0

• si ottiene un'equazione di secondo grado in m:

  m² - (2b + 4ax₀)m + b² - 4ac + 4ay₀ = 0

• si ricavano i due valori di m:

  m₁; m₂

• si determinano le due rette sostituendo i due valori di m nell'equazione del fascio di rette:

  y = m₁(x - x₀) + y₀      e      y = m₂(x - x₀) + y₀

Ad esempio, determiniamo le tangenti alla parabola y = 2x² - 7x + 4 passanti per il punto P(1, -3).

Scriviamo il sistema fascio-parabola:

Scriviamo l'equazione risolvente del sistema:

2x² + (-7 - m)x + m + 7 = 0

Imponiamo il discriminante uguale a zero:

m² + 14m + 49 - 8m - 56 = 0

Cioè:

m² + 6m - 7 = 0

risolviamo l'equazione rispetto a m:

m₁ = -7 e m₂ = 1

sostituiamo i due valori di m nell'equazione del fascio di rette:

y= -7x + 4     e     y = x - 4

Il metodo per determinare le rette tangenti a una parabola passante per un generico punto P(x₀, y₀) esterno alla parabola è valido anche nel caso in cui il punto P(x₀, y₀) appartenga alla parabola. In questo caso quando si impone la condizione di tangenza, cioè la condizione che sia nullo il discriminante dell'equazione risolvente del sistema fascio-parabola si ottiene un'equazione di secondo grado in m che ha per soluzioni due valori coincidenti di m cioè m₁=m₂.

Ad esempio, troviamo l'equazione della tangente alla parabola y = 2x² + 5x - 3 passante nel suo punto P(-1, -6).

Scriviamo il sistema fascio-parabola, individuiamo l'equazione risolvente del sistema, imponiamo il discriminante uguale a zero e determiniamo m:

La retta tangente è quindi:

y= (x +1) - 6 → y = x - 5

Ecco il grafico:

Nel caso in cui il punto P(x₀, y₀) appartenga alla parabola esistono due formule che permettono di scrivere subito l'equazione della retta tangente alla parabola in quel punto senza dover impostare il sistema tra le equazioni della parabola e della retta.

• Prima formula: Permette di determinare direttamente il coefficiente della retta tangente alla parabola in un suo punto. Consideriamo l'equazione risolvente del sistema tra le equazioni della parabola e della retta:

  ax² + (b - m)x + c + mx₀ - y₀ = 0

  Affinchè la retta sia tangente alla parabola, l'equazione risolvente deve avere due radici reali coincidenti e tali radici devono essere uguali a x₀. Ora, sappiamo che, in un'equazione di secondo grado la somma delle radici è uguale all'opposto del rapporto tra secondo e primo coefficiente, cioè:

  

  E risolvendo rispetto a m si ha:

  

  Pertanto l'equazione della retta tangente alla parabola in un suo punto P(x₀, y₀) è:

  y - y₀ = (2ax₀ + b)(x - x₀)

  Ad esempio, applicando direttamente questa formula, possiamo determinare l'equazione della retta tangente alla parabola y = 2x² + 5x - 3 passante nel suo punto P(-1, -6):

  y - y₀ = (2ax₀ + b)(x - x₀) → y + 6 = [2⋅2⋅(-1) + 5](x + 1) → y = x - 5

• Seconda formula: Detta formula di sdoppiamento permette di ottenere direttamente l'equazione della retta tangente alla parabola in un suo punto sostituendo nell'equazione della parabola:

  

  e quindi l'equazione della retta tangente è:

  

  Ad esempio, applicando questa formula, possiamo determinare direttamente l'equazione della retta tangente alla parabola:

  y = 2x² + 5x - 3

  passante nel suo punto P(-1, -6):

  

Si definisce retta normale a una parabola in un suo punto, la retta perpendicolare alla tangente alla parabola in quel punto. Ad esempio, determiniamo la retta normale alla parabola di equazione y=2x²-4x+3 nel suo punto P(2, 3).

Determiniamo il coefficiente della retta tangente alla parabola nel punto P:

m = (2ax₀ + b) = (2 ⋅ 2 ⋅ 2 - 4) = 4

Pertanto l'equazione della retta perpendicolare alla tangente alla parabola in P è:

Ecco il grafico con parabola, retta tangente e retta normale nel punto P(2, 3):