Cosa si deve sapere sulla parabola

Condizioni per determinare l'equazione di una parabola

Nell'equazione di una generica parabola:

y = ax² + bx + c     oppure     x = ay² + by + c

sono presenti i tre parametri a, b, c e quindi per determinare l'equazione di una data parabola dobbiamo avere tre informazioni tali da poter determinare i tre parametri. Queste tre informazioni, dette condizioni, permettono di poter impostare un sistema di tre equazioni nelle tre incognite a, b, c. Ad esempio:

• La conoscenza delle coordinate del fuoco o del vertice corrispondono a due condizioni perchè utilizzando le formule relative all'ascissa e all'ordinata, possiamo scrivere due equazioni nelle tre incognite.

• La conoscenza delle coordinate di un punto della parabola corrisponde a una sola condizione perchè inserendo il valore dell'ascissa e dell'ordinata nell'equazione canonica della parabola possiamo scrivere una sola equazione nelle tre incognite.

• Anche la conoscenza dell'asse di simmetria o della direttrice o di una retta tangente corrisponde a una sola condizione.

Elenchiamo alcune possibili condizioni che permettono di determinare l'equazione di una parabola:

• Le coordinate di tre punti non allineati.

• Le coordinate del fuoco e del vertice.

• Le coordinate del fuoco e di un punto della parabola.

• Le coordinate di due punti della parabola e l'equazione di una retta tangente.

• Le coordinate del vertice e l'equazione della direttrice.

• Le coordinate di un punto, l'equazione dell'asse e della direttice.

Vediamo tre tipologie di problemi:

• Problema 1: Determina l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y e passante per i punti A(2, 2), B(3, 1), C(5, 5).
  
  Imponiamo che i tre punti appartengono alla parabola sostituendo nell'equazione y = ax²+bx+c a x e a y le coordinate dei tre punti. Otteniamo cosí il sistema di tre equazioni nelle incognite a, b, c.

  
  

  che ha per soluzione:

  a=1,     b=-6,     c=10
  

  L'equazione della parabola è quindi:

  y = x² - 6x + 10
  

  Ecco il grafico:

  
  

• Problema 2: determina l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y passante per i punti A(-3, -1), B(-4, 2) e tangente alla retta y=2x+1.
  
  Dalla condizione passaggio per A si ottiene l'equazione:

  -1 = 9a - 3b + c
  

  Dalla condizione passaggio per B si ottiene l'equazione:

  2 = 16a - 4b + c.
  

  Dalla condizione tangente alla retta y=2x+1 si ottiene l'equazione nelle incognite a, b, c dopo alcuni passi:

  • Primo passo: scrivere il sistema costituito dall'equazione canonica della parabola e dall'equazione della retta tangente.

    
    

  • Secondo passo: scrivere l'equazione risolvente del sistema.

    ax² + bx + c = 2x + 1

  • Terzo passo: imporre il discriminante uguale a zero.

    (b-2)² - 4a(c - 1) = 0
    

    e quest'ultima equazione rappresenta la terza condizione.

  
  

  Possiamo ora scrivere il sistema di tre equazioni nelle incognite a, b, c.

  
  

  che ha due soluzioni:

  a₁=1,     b₁=4,     c₁=2
  
  a₂=25,     b₁=172,     c₂=290
  

  Le equazioni delle parabole sono:

  y = x² + 4x + 2     e     y = 25x² + 172x + 290
  

  Ecco il grafico:

  
  

• Problema 3: determina l'equazione della parabola con l'asse di simmetria parallelo all'asse y di vertice V(2, 7) e direttrice y = 4.
  
  Prima condizione: conoscendo l'ascissa del vertice si ha:

  
  

  Seconda condizione: conoscendo l'ordinata del vertice si ha:

  
  

  Terza condizione: conoscendo l'equazione della direttrice si ha:

  
  

  Risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle tre condizione si ottiene:

  
  

  e l'equazione della parabola è:

  
  

  Ecco il grafico: