Cosa si deve sapere sulla parabola

Parabole con vertice nell'origine

Da un punto di vista geometrico la parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice che non lo contiene.

Come si vede in figura il punto A appartiene alla parabola perchè la sua distanza dal fuoco F è uguale alla sua distanza dalla direttrice d; analogamente per il punto B. La parabola è simmetrica e la retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice è detta asse della parabola; il punto di intersezione V dell'asse con la parabola è detto vertice della parabola.

Se chiamiamo H il punto di intersezione della direttrice con l'asse, si ha:

Vediamo ora, come possiamo tradurre in termini algebrici la definizione geometrica della parabola. Disponiamo la parabola nel piano cartesiano in modo che il vertice coincida con l'origine e l'asse di simmetria con l'asse y.

Il fuoco è sull'asse delle y e le sue coordinate saranno F(0, f) ed essendo il vertice della parabola nell'origine e equidistante dal fuoco e dalla direttrice l'equazione della direttrice sarà, y = -f. Ora, se consideriamo un generico punto P(x, y) che appartenga alla parabola questo sarà equidistante da F e dalla direttrice e quindi PF = PH.

Essendo:

Si ha:

Elevando al quadrato i due membri si ottiene:

E risolvendo rispetto a y si ha:

Se un punto P appartiene alla parabola allora le sue coordinate soddisfano quest'equazione; viceversa, si verifica facilmente che se le coordinate di un punto P soddisfano questa equazione allora P appartiene alla parabola (cioè ha la stessa distanza da F e da d). Diremo perciò che questa è l'equazione canonica di una parabola con asse coincidente con l'asse delle y e vertice nell'origine. Posto

L'equazione precedente assume la forma y = ax². Pertanto:

L'equazione della parabola con l'asse coincidente con l'asse delle y e vertice nell'origine è:

y = ax² (con a ≠ 0)

Le coordinate del fuoco sono:

L'equazione della direttrice è:

Consideriamo l'equazione y = ax² e vediamo come varia il grafico della parabola al variare del coefficiente a.

• le parabole y = x² e y = 2x²:
• le parabole y = x² e y = 1/2x²:
• le parabole y = 1/2x² e y = -1/2x²:

Che cosa notiamo? Il coefficiente a determina l'apertura e la concavità della parabola.

L'apertura della parabola dipende dal valore assoluto di a; più è piccolo il valore di |a| tanto più è l'aperta della curva. Quanto più è grande il valore di |a| tanto più è chiusa la curva. La concavità della parabola dipende dal segno di a; per a positivo (a > 0) la concavità è rivolta verso l'alto, per a negativo (a < 0) la concavitù è rivolta verso il basso.