Cosa si deve sapere sulla parabola

Parabole con vertice nell'origine

Da un punto di vista geometrico la parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice che non lo contiene.

Come si vede in figura il punto A appartiene alla parabola perchè la sua distanza dal fuoco F è uguale alla sua distanza dalla direttrice d; analogamente per il punto B. La parabola è simmetrica e la retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice è detta asse della parabola; il punto di intersezione V dell'asse con la parabola è detto vertice della parabola.

Se chiamiamo H il punto di intersezione della direttrice con l'asse, si ha

Vediamo ora, come possiamo tradurre in termini algebrici la definizione geometrica della parabola. Disponiamo la parabola nel piano cartesiano in modo che il vertice coincida con l'origine e l'asse di simmetria con l'asse y.

Il fuoco è sull'asse delle y e le sue coordinate saranno F(0, f) ed essendo il vertice della parabola nell'origine e equidistante dal fuoco e dalla direttrice l'equazione della direttrice sarà, y = -f. Ora, se consideriamo un generico punto P(x, y) che appartenga alla parabola questo sarà equidistante da F e dalla direttrice e quindi PF = PH.

Essendo:

si ha:

Elevando al quadrato i due membri si ottiene:

e risolvendo rispetto a y si ha:

Se un punto P appartiene alla parabola allora le sue coordinate soddisfano quest'equazione; viceversa, si verifica facilmente che se le coordinate di un punto P soddisfano questa equazione allora P appartiene alla parabola (cioè ha la stessa distanza da F e da d). Diremo perciò che questa è l'equazione canonica di una parabola con asse coincidente con l'asse delle y e vertice nell'origine. Posto

l'equazione precedente assume la forma y = ax².

Pertanto:

L'equazione della parabola con l'asse coincidente con l'asse delle y e vertice nell'origine è:

y = ax² (con a ≠ 0)

Le coordinate del fuoco sono:

L'equazione della direttrice è:

Consideriamo l'equazione y = ax² e vediamo come varia il grafico della parabola al variare del coefficiente a.

Rappresentiamo nel piano cartesiano:

• le parabole y = x² e y = 2x²:

  

• le parabole y = x² e y = 1/2x²:

  

• le parabole y = 1/2x² e y = -1/2x²:

  

Che cosa notiamo?

Il coefficiente a determina l'apertura e la concavità della parabola.

L'apertura della parabola dipende dal valore assoluto di a; più è piccolo il valore di |a| tanto più è aperta la curva, quanto più è grande il valore di |a| tanto più è chiusa la curva.

La concavità della parabola dipende dal segno di a; per a positivo (a > 0) la concavità è rivolta verso l'alto, per a negativo (a < 0) la concavitù è rivolta verso il basso.