Cosa devi sapere sulla circonferenza

Studio di un fascio di circonferenze

Studiare l'equazione di un fascio di circonferenze implica esaminare le caratteristiche grafiche del fascio ossia determinare:

• le due generatrici;

• il centro e il raggio in funzione del parametro k;

• gli eventuali punti base;

• l'asse radicale e l'asse centrale;

• eventuali circonferenze degeneri;

• il tipo di fascio.

Vediamo alcuni esempi:

• Esempio 1: Studiare il fascio di circonferenze di equazione:

  (1 + k)x² + (1 + k)y² - 3kx -3ky = 0
  

  Per determinare le circonferenze generatrici del fascio eseguiamo i prodotti e riscriviamo l'equazione in un'altra forma mettendo in evidenza il parametro k:

  x² + kx² + y² + ky² - 3kx - 3ky = 0

  x² + y² + k(x² + y² - 3x - 3y) = 0
  

  Le generatrici sono quindi le due circonferenze di equazioni:

  x² + y² = 0 e x² + y² - 3x - 3y = 0
  

  Osserviamo che l'equazione della prima circonferenza generatrice rappresenta un punto che concide con l'origine degli assi e quindi è una circonferenza degenere di raggio nullo. Inoltre, osservando l'equazione della seconda circonferenza generatrice vediamo che manca il termine c e quindi il grafico di questa circonferenza passa per l'origine degli assi.
  
  Per determinare l'equazione della retta radicale sostituiamo nell'equazione del fascio il valore k=-1:

  0⋅x² + 0⋅y² + 3x + 3y = 0
  

  Cioè:

  y = - x
  

  Da quanto detto si intuisce che il fascio di circonferenze ha un solo punto base che coincide con l'origine e tutte le circonferenze del fascio sono tangenti nel punto (0, 0) alla retta y=-x. Per avere la conferma determiniamo i punti base mettendo a sistema l'equazione di una circonferenza generatrice e l'equazione dell'asse radicale:

  
  

  Pertanto l'equazione del fascio rappresenta un fascio di circonferenze tangenti nel punto base A(0, 0) alla retta y=-x.
  
  Per determinare il centro e il raggio delle circonferenze del fascio in funzione di k utilizziamo le due formule:

  
  

  
  

  Cioè:

  
  

  Ecco il grafico con alcune circonferenze del fascio:

  
  

• Esempio 2: Studiare il fascio di circonferenze di equazione:

  x² + y² - 2(k - 1)x - 4ky - 1 = 0
  

  Eseguiamo il prodotto e riscriviamo l'equazione in un'altra forma mettendo in evidenza il parametro k:

  x² + y² + 2x - 2kx - 4ky - 1 = 0

  x² + y² + 2x - 1 + k(-2x - 4y) = 0
  

  Le generatrici sono quindi:

  x² + y² + 2x - 1 = 0 e x + 2y = 0
  

  La prima generatrice è una circonferenza con centro C(-1, 0) e raggio √2 la seconda è una circonferenza degenere ed è anche l'asse radicale del fascio di equazione:

  
  

  Determiniamo i punti base del fascio risolvendo il sistema formato dalle due generatrici:

  
  

  Che ha per soluzioni:

  
  

  Possiamo quindi dire che l'equazione del fascio rappresenta un fascio di circonferenze secanti con due punti base.
  
  Determiniamo il centro e il raggio delle circonferenze del fascio in funzione di k:

  
  

  Ecco il grafico con alcune circonferenze del fascio:

  
  

• Esempio 3: Scrivere l'equazione del fascio di circonferenze passanti per A(0, -2) e B(-2, 0).
  
  Possiamo scegliere come generatrici del fascio la circonferenza di diametro AB e l'asse radicale AB e quindi ottenere l'equazione del fascio mediante la combinazione lineare tra le equazioni della circonferenza e della retta.
  
  La circonferenza di diametro AB ha il centro nel punto medio del segmento AB e cioè in C(-1, -1) e il raggio uguale alla distanza AC cioè r=√2 e quindi la sua equazione è:

  
  

  La retta AB ha equazione:

  x + y + 2 = 0
  

  Pertanto l'equazione del fascio è:

  x² + y² + 2x + 2y + k(x + y + 2) = 0