Cosa devi sapere sulla circonferenza

Posizione reciproca tra due circonferenze

Date due circonferenze di equazioni:

x² + y² + ax + by + c = 0;     x² + y² + a'x + b'y + c' = 0

possiamo stabilire la loro reciproca posizione mediante le soluzioni del sistema di quarto grado costituito da tali equazioni:

Se si verifica la condizione:

a = a' e b = b'

Il sistema è impossibile e ciò significa che le due circonferenze hanno lo stesso centro e quindi sono concentriche.

Se le due circonferenze non sono concentriche sottraendo membro a membro le due equazioni si ottiene il sistema equivalente:

La seconda equazione del sistema

rappresenta una retta perpendicolare alla retta che congiunge i centri delle due circonferenze e per tale motivo è chiamata asse radicale delle due circonferenze. L'equazione risolvente del sistema è di secondo grado e il discriminante di tale equazione può assumere tre valori:

• Δ > 0
  
  In tal caso il sistema ammette due soluzioni distinte e questo significa che le due circonferenze sono secanti e l'asse radicale è la retta che passa per i punti di intersezione.

  
  

• Δ = 0
  
  In tal caso il sistema ammette due soluzioni coincidenti e questo significa che le due circonferenze sono tangenti esternamente o internamente e l'asse radicale è la è la retta tangente comune alle due circonferenze.

  
  

  Per stabilire se le due circonferenze sono tangenti esternamente o internamente bisogna verificare se la distanza d tra i due centri è sia uguale alla somma oppure alla differenza dei due raggi.

• Δ < 0
  
  In tal caso il sistema non ammette soluzioni reali e questo significa che le due circonferenze non hanno punti e quindi sono esterne e l'asse radicale è una retta che non interseca le due circonferenze.