Cosa devi sapere sulla circonferenza

Fascio di circonferenze

Date due circonferenze γ₁ e γ₂ di equazioni:

x² + y² + ax + by + c = 0;     x² + y² + a'x + b'y + c' = 0

si dice fascio di circonferenze l'insieme di tutte le circonferenze di equazione:

p(x² + y² + ax + by + c) + q(x² + y² + a'x + b'y + c') = 0

che si ottengono dalla combinazione lineare di γ₁ e γ₂ mediante due parametri reali p e q non entrambi nulli. Le due circonferenze γ₁ e γ₂ sono dette circonferenze generatrici del fascio. Poichè p e q non sono entrambi nulli, è possibile ricondurre il fascio ad una equazione con un unico parametro; ad esempio, imponendo:

p ≠ 0 e k = q/p

si ha:

x² + y² + ax + by + c + k(x² + y² + a'x + b'y + c') = 0

Per k = 0 si ottiene l'equazione della circonferenza γ₁, mentre per nessun valore di ݇ k si può ottenere l'equazione della circonferenza γ₂. La reciproca posizione delle due circonferenze generatrici del fasco determina i vari tipi di fasci:

• Se le due circonferenze generatrici sono secanti in A e B, tutte le circonferenze del fascio si intersecano in A e B che sono detti punti base del fascio e la retta passante per A e B è detta asse radicale del fascio e rappresenta una circonferenza degenere.

  
  

• Se le due circonferenze generatrici sono tangenti in A, tutte le circonferenze del fascio sono tangenti in A e il fascio ha due punti base coincidenti in A e l'asse radicale è la tangente comune a tutte le circonferenze.

  
  

• Se le due circonferenze generatrici non si intersecano, tutte le circonferenze del fascio non si intersecano, il fascio non ha punti base e l'asse radiale non interseca le circonferenze del fascio.

  
  

• Se le due circonferenze generatrici sono concentriche, tutte le circonferenze del fascio hanno lo stesso centro, il fascio non ha punti base e non ha l'asse radiale.

  
  

Nel caso di fascio di circonferenze non concentriche l'equazione del fascio potrebbe derivare dalla combinazione lineare tra l'equazione γ di una circonferenza e l'equazione t di una retta che in realtà è una circonferenza degenere. Ad esempio, date le equazioni della circonferenza e della retta:

x² + y² + x - 2y - 2 = 0;     2x - 3y + 4 = 0

l'equazione del fascio di circonferenze generato da γ e t è:

x² + y² + x - 2y - 2 +k(2x - 3y + 4) = 0

E il grafico del fascio è:

Come si vede dal grafico la retta t è anche asse radicale e i due punti base sono A(1, 2) e B(-2, 0).