Cosa devi sapere sulla circonferenza

Condizioni per determinare l'equazione di una circonferenza

Nell'equazione di una generica circonferenza x²+y²+ax+by+c=0 sono presenti i tre parametri a, b, c e quindi per determinare l'equazione di una data circonferenza è necessario avere tre condizioni scelte tra: centro, raggio, passaggio per un punto, retta tangente. Possono, quindi, presentarsi vari casi vediamone alcuni:

Esempio 1: Circonferenza dati tre punti non allineati.

Determiniamo l'equazione della circonferenza passante per i tre punti non allineati A(1, 1), B(2, 2), C(2, 3).

Poichè i tre punti devono appartenere alla stessa circonferenza, le loro coordinate devono soddisfare l'equazione

x² + y² + ax + by + c = 0

e quindi devono essere verificate simultaneamente le tre equazioni

Cioè

L'unica soluzione di questo sistema di tre equazioni di primo grado è:

a = -1; b = -5; c = 4

Pertanto esiste un'unica circonferenza che passa per i tre punti dati e ha equazione

x² + y² + (-1)x + (-5)y + 4 = 0

Come si vede dal grafico

Esempio 2: Circonferenza dato il centro e il raggio.

Determiniamo l'equazione della circonferenza di centro C(-2, 0) e raggio r = 2.

L'equazione della circonferenza con centro C(α, β) e raggio r è:

(x - α)² + (y - β)² = r²

Che nel nostro caso diventa

(x + 2)² + y² = 2²

Cioè

x² + y² + 4x = 0

Esempio 3: Circonferenza dato il diametro.

Determiniamo l'equazione della circonferenza che ha come diametro il segmento di estremi A(3, -3) e B(-1, -1).

Essendo il centro C della circonferenza il punto medio del segmento AB le sue coordinate sono C(1, -2). Imponendo che la circonferenza passi per A (o per B) e che il suo centro sia C(1, -2) si ottiene il sistema:

L'unica soluzione di questo sistema di tre equazioni di primo grado è:

a = -2; b = 4; c = 0

Pertanto esiste un'unica circonferenza che ha equazione

x² + y² + (-2)x + (+4)y + 0 = 0

Esempio 4: Circonferenza dati il centro e una retta tangente.

Determiniamo l'equazione della circonferenza di centro C(-1, -1) e tangente alla retta y=-x+2.

La condizione che la circonferenza di equazione x²+y²+ax+by+c=0 sia tangente alla retta y=-x+2 si ottiene mediante il sistema

e imponendo la condizione di tangenza (Δ=0) all'equazione risolvente

Il sistema da risolvere è quindi

L'unica soluzione di questo sistema di tre equazioni di primo grado è:

a = 2; b = 2; c = -6

Pertanto esiste un'unica circonferenza che ha equazione

x² + y² + 2x + 2y - 6 = 0

Esempio 5: Circonferenza dati una retta r tangente, un punto, il centro C sulla retta s.

Determiniamo l'equazione della circonferenza tangente alla retta r: y=x+3, passante per il punto P(-3, 0) e avente il centro C sulla retta s: y=x-1.

Poniamo il discriminante dell'equazione risolvente il sistema

uguale a zero

Il sistema da risolvere è quindi

L'unica soluzione di questo sistema di tre equazioni di primo grado è:

a = 2; b = 4; c = -3

Pertanto esiste un'unica circonferenza che ha equazione

x² + y² + 2x + 4y - 3 = 0