Cosa devi sapere sulla circonferenza

Rette tangenti a una circonferenza

Data una circonferenza di equazione x²+y²+ax+by+c=0 e un punto P(x₀, y₀) consideriamo le eventuali rette tangenti alla circonferenza e passanti per P. Possiamo avere tre situazioni:

• Il punto P è esterno alla circonferenza, in tal caso esistono due rette distinte passanti per P e tangenti alla circonferenza.

  

• Il punto P è sulla circonferenza, in tal caso esiste un'unica retta passante per P e tangente alla circonferenza.

  

• Il punto P è interno alla circonferenza, in tal caso non esiste nessuna retta passante per P e tangente alla circonferenza.

  

Primo caso: Il punto P è esterno alla circonferenza.

Per determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza x²+y²+ax+by+c=0 passanti per un punto P(x₀, y₀) esterno alla circonferenza si procede nel seguente modo:

• Si scrive l'equazione della generica retta passante per P:

  y - y₀ = m(x - x₀

• Si considera il sistema formato dall'equazione della circonferenza e dalla retta generica passante per P:

  

• Si ricava y nell'equazione della retta e si sostituisce nell'equazione della circonferenza.

• Si ottiene così un'equazione di secondo grado in x detta equazione risolvente e si impone la condizione di tangenza cioè Δ = 0 in questo modo si ottiene un'equazione di secondo grado in m.

• Si risolve l'equazione in m e si ricavano i due coefficienti angolari m₁, m₂ delle rette tangenti. Le due equazioni delle rette si ottengono sostituendo m della retta generica con i due valori trovati.

Esempio: Determiniamo le rette passanti per il punto P(4, -1) e tangenti alla circonferenza

x²+y²+4x-2y-15=0.

Determiniamo inoltre le coordinate dei punti di tangenza.

Scriviamo l'equazione generica di una retta passante per P:

y + 1 = m(x - 4)

Scriviamo il sistema tra l'equazione della circonferenza e la retta generica:

Ricaviamo la y dall'equazione della retta e sostituiamola nell'equazione della circonferenza:

Otteniamo così l'equazione risolvente:

Imponiamo la condizione di tangenza:

Svolgendo otteniamo l'equazione di secondo grado in m:

2m² + 3m - 2 = 0

che ha per soluzioni:

Le equazioni delle rette tangenti sono quindi:

Cioè:

Determiniamo il punto di tangenza tra la prima retta e la circonferenza risolvendo il sistema:

Determiniamo il punto di tangenza tra la seconda retta e la circonferenza risolvendo il sistema:

Quindi i punti di tangenza sono A(0, -3) e B(2, 3):

Secondo caso: Il punto P appartiene alla circonferenza.

Possiamo applicare lo stesso procedimento utilizzato per il punto P esterno alla circonferenza e in tal caso si troveranno due valori coincidenti m₁=m₂ del coefficiente angolare della retta tangente. In alternativa possiamo utilizzare due metodi più semplici:

Primo metodo: Perpendicolarità tra la retta tangente e il raggio della circonferenza.

Essendo la retta tangente passante per P perpendicolare al raggio CP, il suo coefficiente angolare è l'opposto del reciproco del coefficiente angolare del raggio CP. Pertanto si procede nel seguente modo:

• Si determinano le coordinate del centro C della circonferenza.

• Si determina il coefficiente angolare m della retta CP.

• Si determina il coefficiente angolare m'=-1/m.

• Si scrive l'equazione della tangente y - y₀ = m'(x - x₀.

Esempio: Determiniamo l'equazione della retta tangente alla circonferenza

x²+y²-2x+4y=0

e passante per un suo punto P(3, -1).

Le coordinate del centro C della circonferenza sono: C(1,-2). Il coefficiente angolare della retta CP è:

Il coefficiente angolare della retta tangente in P è:

L'equazione della retta tangente è quindi:

y + 1 = -2(x - 3) → y = -2x +5

Secondo metodo: Formula di sdoppiamento.

Una retta tangente alla circonferenza

x²+y²+ax+by+c=0

in un suo punto P(x₀, y₀) ha per equazione:

dove è stato posto:

Applichiamo questo metodo all'esempio precedente.

Esempio: Determiniamo con la formula di sdoppiamento l'equazione della retta tangente alla circonferenza

x²+y²-2x+4y=0

e passante per un suo punto P(3, -1).

e come si vede si ottiene lo stesso risultato.