Cosa devi sapere sulla circonferenza

Circonferenza come luogo geometrico

Da un punto di vista geometrico la circonferenza è il luogo dei punti P del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro.

La distanza fra ogni punto della circonferenza e il suo centro è detto raggio che viene indicato con la lettera r.

Vediamo ora, come possiamo tradurre in termini algebrici la definizione geometrica della circonferenza. Consideriamo, nel piano cartesiano, una circonferenza qualsiasi. Sia r la misura del suo raggio, sia C(α, β) il centro e sia P(x, y) un punto generico della circonferenza.

Affinchè la distanza di P da C sia uguale a r deve essere, per il teorema di Pitagora:

(x - α)² + (y - β)² = r²

che è l'equazione della circonferenza. Possiamo scrivere tale equazione in un altro modo sviluppando e portando r² al primo membro:

x² + y² - 2αx - 2βy + α² + β² - r² = 0

Ponendo

a = -2α,    b = -2β,    c = α² + β² - r²

si ottiene l'equazione di secondo grado:

x² + y² + ax + by + c = 0

Osserviamo che dalle posizioni precedenti segue che:

e poichè il raggio r è un numero reale positivo, deve essere:

Pertanto, l'equazione:

x² + y² + ax + by + c = 0

rappresenta una circonferenza di centro C se e solo se:

a² + b² - 4c > 0

Viceversa, si può verificare che se (x, y) è una soluzione dell'equazione

x² + y² + ax + by + c = 0    (con a² + b² - 4c > 0)

allora il punto (x, y) ha distanza r dal punto (α, β) e quindi appartiene alla circonferenza.

Esempio 1: L'equazione x²+y²-4x-2y-11=0, rappresenta una circonferenza? Se sí rappresenta il suo grafico.

L'equazione è del tipo: x² + y² + ax + by + c = 0 con

a = -4,     b = -2,     c = -11

Poichè si ha:

a² + b² - 4c = 64 > 0

l'equazione rappresenta una circonferenza con le coordiate del centro

e con il raggio:

Pertanto il grafico dell'equazione è: