Cosa devi sapere sulla circonferenza

Le posizioni di una retta rispetto a una circonferenza

Consideriamo una retta e una circonferenza nel piano cartesiano. Possiamo avere tre situazioni:

• La distanza tra la retta e il centro della circonferenza è maggiore della misura del raggio, in tal caso la retta è esterna alla circonferenza.

  

• La distanza tra la retta e il centro della circonferenza è uguale della misura del raggio, in tal caso la retta è tangente alla circonferenza.

  

• La distanza tra la retta e il centro della circonferenza è minore della misura del raggio, in tal caso la retta è secante alla circonferenza.

  

Da un punto di vista analitico per stabilire la posizione della retta rispetto alla circonferenza occorre determinare i punti di intersezione tra la retta e la circonferenza: se la retta e la circonferenza non hanno punti di intersezione la retta è esterna, se hanno un solo punto di intersezione la retta è tangente, se hanno due punti di intersezione la retta è secante. Per determinare gli eventuali punti di intersezione bisogna risolvere il sistema formato dall'equazione della circonferenza e l'equazione della retta e verificare se il valore del discriminante Δ, dell'equazione risolvente di secondo grado, è maggiore o uguale o minore di zero:

Δ > 0 la retta è secante

Δ = 0 la retta è tangente

Δ < 0 la retta è esterna

Esempio: Stabilire la posizione di ciascuna retta

r₁: x-2y+1=0

r₂: x+y+2=0

r₃: x+2y=8

rispetto alla circonferenza

x²+y²-2x-2y-3=0.

• Impostiamo il sistema tra la circonferenza e la retta r₁:

  

  Per sostituzione otteniamo l'equazione risolvente del sistema:

  x² - 2x - 3 = 0

  Poichè Δ = 16 > 0, il sistema ammette due soluzioni reali e quindi la retta è secante.

• Impostiamo il sistema tra la circonferenza e la retta r₂:

  

  Per sostituzione otteniamo l'equazione risolvente del sistema:

  2x² + 4x + 5 = 0

  Poichè Δ = -24 < 0, il sistema non ammette soluzioni reali e quindi la retta è esterna.

• Impostiamo il sistema tra la circonferenza e la retta r₃:

  

  Per sostituzione otteniamo l'equazione risolvente del sistema:

  x² - 4x + 4 = 0

  Poichè Δ = 0, il sistema ammette due soluzioni reali coincidenti e quindi la retta è tangente.

Ed ecco il grafico delle rette e della circonferenza: